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量子傅里叶变换及应用
这个电路使用了多少个门？我们首先对第一个量子比特执行一个 Hadamard 门和 n − 1 次条件旋转，总共 n 个门。然后对第二个量子比特执行一个 Hadamard 门和 n − 2 次条件旋转，总共 n + (n − 1) 个门。继续这样做，我们看到需要 n+(n−1)+···+1 = n(n+1)/2 个门，加上涉及交换的门。最多需要 n/2 次交换，每次交换可使用三个 CNOT 门完成。因此，该电路提供了用于执行量子傅里叶变换的 Θ(n 2 ) 算法。
1 量子傅里叶变换和周期性
量子傅里叶变换 (QFT) 可视为 Hadamard 运算在 N > 2 维上的推广。稍后我们将特别关注 N = 2 n，即 n 量子比特空间上的 QFT。作为纯数学构造，它与广泛用于数字信号和图像处理的所谓离散傅里叶变换相同。它是一个在各种数学情况下自然出现的酉矩阵，因此非常适合量子形式主义，为量子操作和某些数学问题之间架起了一座桥梁。事实上，QFT 是大多数已知量子算法的核心，这些算法比传统计算具有显著的加速。
重新审视量子傅里叶变换
快速傅里叶变换 (FFT) 是 20 世纪最成功的数值算法之一，在计算科学和工程的许多分支中得到了广泛的应用。FFT 算法可以从离散傅里叶变换 (DFT) 矩阵的特定矩阵分解中推导出来。在本文中，我们表明，量子傅里叶变换 (QFT) 可以通过进一步将 FFT 矩阵分解的对角因子分解为具有 Kronecker 积结构的矩阵的乘积来推导出来。我们分析了这种 Kronecker 积结构对经典计算机上秩为 1 张量的离散傅里叶变换的影响。我们还解释了为什么这种结构可以利用一个重要的量子计算机特性，使 QFT 算法在量子计算机上的加速比经典计算机上的 FFT 算法快得多。此外，还建立了 DFT 矩阵的矩阵分解与量子电路之间的联系。我们还讨论了基数 2 QFT 分解到基数 d QFT 分解的自然扩展。无需具备量子计算方面的先验知识即可理解本文所介绍的内容。然而，我们相信本文可能有助于读者从矩阵计算的角度对量子计算的本质有基本的了解。
量子傅里叶光学基础
摘要 全量子信号处理技术是大多数信息量子技术成功发展的核心。本文开发了连贯而全面的方法和数学模型，以全量子术语描述任何输入光量子态的傅里叶光信号处理。本文首先介绍光子的空间二维量子态，该量子态与其波前相关，可表示为二维创建算子。然后，通过将傅里叶光学处理装置分解为其关键组件，我们努力获得二维创建算子的量子幺正变换或输入/输出量子关系。随后，我们利用上述结果开发并获得一些基本傅里叶光学装置的量子类似物，例如通过 4f 处理系统的量子卷积和具有周期性瞳孔的量子 4f 处理系统。此外，由于光脉冲整形在各种光通信和光学科学领域的重要性和广泛应用，我们还提出了一个全量子术语的类似系统，即具有 8f 处理系统的量子脉冲整形。最后，我们将结果应用于光量子态的两个极端示例。一个基于相干（Glauber）状态，另一个基于上述每个光学系统的单光子数（Fock）状态。我们相信本文开发的方案和数学模型可以影响量子光信号处理、量子全息术、量子通信、量子雷达和多输入/多输出天线的许多领域，以及量子成像、量子计算和量子机器学习算法中的更多应用。
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由于Worlton [1]使用羔羊波来非破坏性测试板，因此对NDT中的板波的应用引起了极大的兴趣。羔羊波可在局部化中使用。详细的NDT应用程序。可以通过在适当的频率厚度产品中选择最合适的模式来优化给定缺陷的可检测性。同样，由于它们本质上是二维，因此羔羊波的衰减速度低于3维散装波。，因此可以在相当长的距离内传播。因此。lat-rib波可在远程NDT应用中使用。可以将大型板状结构进行粗略检查。但是。始终存在多个传播羔羊波，并且速度分散通常很明显。因此，耀斑对施加的兴奋剂的响应的时间历史只能用于大约测量羔羊波幅度和ve弹性。因为响应信号的形状将在沿板表面的不同位置处有不同的位置。也是如此。如果羔羊模式的组速度相似，则需要在可以在时域中解析之前，需要坚持的繁殖距离。
统计自适应傅里叶分解 (SAFD)
摘要：本文提出了一种新型的监督学习方法——统计自适应傅里叶分解（SAFD）。SAFD 使用正交有理系统或 Takenaka-Malmquist（TM）系统为训练集建立学习模型，在此基础上可以对未知数据进行预测。该方法侧重于信号或时间序列的分类。AFD 是一种新开发的信号分析方法，它可以自适应地将不同的信号分解为不同的 TM 系统，引入了傅里叶类型但非线性和非负的时频表示。SAFD 将学习过程与 AFD 的适应性特征充分结合起来，其中少量的学习原子足以捕获信号的结构和特征以进行分类。SAFD 有三个优点。首先，在学习过程中会自动检测和提取特征。其次，所有参数都由算法自动选择。最后，将学习到的特征以数学形式表示出来，并可以根据感应瞬时频率进一步研究特征。通过心电图 (ECG) 信号分类验证了所提方法的有效性。实验表明，该方法比其他基于特征的学习方法效果更好。
稳定器等级和高阶傅里叶分析
我们在稳定态、稳定秩和高阶傅里叶分析之间建立了联系。高阶傅里叶分析是数学中一个仍在发展的领域，它源于 Gowers 对 Szemer´edi 定理 [10] 的著名傅里叶分析证明。我们观察到 n -量子位元稳定态是所谓的非经典二次相函数（定义在 F np 的拟和子空间上，其中 p 是量子位元的维数），它是高阶傅里叶分析的基本对象。这使我们能够从该理论中引入工具来分析量子态的稳定秩。最近，在 [20] 中证明了 n -量子比特魔法态的稳定秩为 Ω(n)。这里我们证明 n -量子比特魔法态的量子位元类似物具有稳定秩 Ω(n)，将其结果推广到任何素数维度的量子位元。我们的证明技术明确使用了高阶傅里叶分析的工具。我们相信这个例子激发了对高阶傅里叶分析在量子信息理论中的应用的进一步探索。
对计算机中傅立叶变换的系统评价...
II。 傅立叶变换与计算机视觉之间的联系以分析和处理图片或视频，即计算机视觉学科，这与分析和从视觉输入中分析和提取有意义的信息有关，采用了许多数学方法。 傅立叶变换是计算机视觉的主食，作为最基本的数学方法之一。 图片可以过滤，可以提取功能，可以注册图片，并且可以借助傅立叶变换和检查其频率含量的检查来识别所有图案。 图像通常通过计算机视觉算法作为二维像素值矩阵处理。 使用傅立叶变换，我们可以通过将其从空间域转换为频域来检查图像的基本频率组件。 为此，在图像矩阵的每一行和列中分别执行傅立叶变换。 图像过滤是对计算机视觉的傅立叶变换。 噪声和其他异常在数字图像中很常见，降低了图像质量并使进一步的处理更加困难。 通过对图片进行傅立叶变换，我们可以隔离关键频率以减少其影响。 当在频域中表示图像时，可以应用过滤操作，例如高通滤波器，以带出小功能和低通滤波器，以使图像平滑并减少噪声。 逆傅里叶变换用于通过将其转换回空间域来获取过滤的图片。 [7]II。傅立叶变换与计算机视觉之间的联系以分析和处理图片或视频，即计算机视觉学科，这与分析和从视觉输入中分析和提取有意义的信息有关，采用了许多数学方法。傅立叶变换是计算机视觉的主食，作为最基本的数学方法之一。图片可以过滤，可以提取功能，可以注册图片，并且可以借助傅立叶变换和检查其频率含量的检查来识别所有图案。图像通常通过计算机视觉算法作为二维像素值矩阵处理。使用傅立叶变换，我们可以通过将其从空间域转换为频域来检查图像的基本频率组件。为此，在图像矩阵的每一行和列中分别执行傅立叶变换。图像过滤是对计算机视觉的傅立叶变换。噪声和其他异常在数字图像中很常见，降低了图像质量并使进一步的处理更加困难。通过对图片进行傅立叶变换，我们可以隔离关键频率以减少其影响。当在频域中表示图像时，可以应用过滤操作，例如高通滤波器，以带出小功能和低通滤波器，以使图像平滑并减少噪声。逆傅里叶变换用于通过将其转换回空间域来获取过滤的图片。[7]