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使用 IBM Quantum Systems 成功对 N=1031167 进行 Shor 因式分解
到目前为止，使用 Shor 算法在量子计算机上分解的最大数字是 35。这张海报表明，在当前的量子计算机上使用该算法可以分解更大的数字。图中展示了数字 1031167 的因式分解以及 IBM 量子系统的结果。Shor 算法 [1] 于 1994 年提出，但直到现在量子技术才发展到可以实现它的水平。该算法的瓶颈是模幂函数 (MEF) 的实现，它是这张海报以及我的论文 [2] 的主题。该算法的量子部分的任务是找到 MEF f (x) = ax mod N 的周期 r（a 是适当选择的整数，N 是要分解的数字），为此，有必要构建和运行所谓的周期查找器量子电路。一旦找到周期 r，就可以使用以下公式计算因子：gcd( ar/ 2 ± 1 , N )。MEF 可以按以下方式分解：
Shor 因式分解算法的噪声量子比特量子计算资源分析
我们需要知道实现 Shor 算法所需的量子计算资源。有了这些知识，量子计算机开发人员就可以设定目标，确定哪些领域值得进一步关注，而加密行业可以估计多久可以开发出能够抵御量子计算攻击的加密系统。实际大规模量子计算所需的量子资源和预期性能已经得到研究 [5-8]。然而，由于这些分析的结果因基本假设的不同而有很大差异，因此有必要分析不同条件下所需的资源。我们按照图 1 所示进行资源分析；其结构类似于典型的资源分析结构，但也有一些不同。与其他研究的相似之处如下。为了实现低门错误率，使用了 QEC 代码。因此，该算法被分解为通用门。为了确定要使用的距离，我们分析了算法中基本门步骤的数量 Q，并且由于使用了 T 门，我们确认了用于魔态蒸馏的额外量子比特的数量。此外，通过获取同时使用的 T 门数量，可以确定要准备多少个 T 门工厂。不同之处在于：我们假设逻辑量子比特之间存在全对全连接。为了减少物理量子比特的数量，我们使用旋转平面代码。由于此代码在执行 CNOT 操作时需要进行晶格手术，因此我们对 CNOT 门使用了额外的辅助量子比特。我们还使用了 Fowler 和 Gidney 的魔法状态蒸馏协议 [ 9 ]。
Grover和Shor算法的步骤 - 步骤研究
抽象的Grover和Shor算法是该领域研究开始时量子计算的两个主要封面。第一个是一种搜索算法，与经典算法有关，并且在解决其他几个问题方面具有很大的应用。第二个能够解决多项式时间中数字C的问题，这是负责计算和加密量子研究的主要动力。在这项科学的启动工作中，我们介绍了Grover和Shor的量子算法，该算法广泛用于量子计算，其原始建议集中在电路演变后每一步之后获得的量子状态。因此，行使了Quantic端口的应用以及量子特性的感知以及这两种算法的功能。在电路中，我们重点介绍了允许我们执行处理任务的基本量子纠缠属性。关键字：量子算法。Grover算法。shor算法。
解密未来：量子计算以及 Grover 和 Shor 算法对经典密码学的影响
摘要。本文旨在直接分析量子计算算法的能力，特别是 Shor 和 Grovers 算法，分析其时间复杂度和强力能力。Shor 算法使我们能够以比传统系统快得多的速度找出大素数的素因数。这对依赖于传统算法无法计算大素数素因数的经典密码系统构成了威胁。Grover 算法使我们的计算机系统搜索能力提高了一倍，这将对密码系统密钥和哈希的强力能力产生重大影响。我们还分析了这些算法对当今经典密码系统的影响，以及可以对安全算法进行的任何重大改进，以使其更安全。
研究文章 使用 PennyLane 库高效实现 Shor 算法的量子原语
量子算法的有效实现是实现实用量子计算的主要挑战之一。已经开发了各种用于量子软件工程的库和框架。这里我们提供了一个软件包，其中包含使用 PennyLane 库实现的各种量子门和众所周知的量子算法。此外，我们使用了一种简化的技术将算法分解为一组用于捕获离子量子处理器的门，并使用 PennyLane 库实现了该技术。分解用于分析在捕获离子量子计算机的本机操作级别上执行 Shor 算法所需的资源。我们最初的贡献是推导了实现分解所需的系数。包中的模板包括 Shor 算法量子部分的所有必需元素，具体来说，高效的模幂运算和量子傅里叶变换可以针对用户指定的任意数量的量子比特实现。所有量子比特操作都分解为在 PennyLane 库中实现的基本门。在定义 QNode 时，可以使用开发包中的模板作为量子位操作。
![[2] Jin-Yi Cai。“Shor 算法在存在噪声的情况下不会分解大整数”。引自：CoRR abs/2306.10072 (2023)。DOI：10.48550/arXiv.2306。](/simg/g:\will\search\icon\source\4\43cb60a445210abf2011bfcbf9093432832f64ee.png)
[2] Jin-Yi Cai。“Shor 算法在存在噪声的情况下不会分解大整数”。引自：CoRR abs/2306.10072 (2023)。DOI：10.48550/arXiv.2306。
该量在式 (1) 中作为 exp { 2 πi [ ... . . ] } 指数的子和出现。主要证明是证明指数和 (1) 中指数的和 (2) 在指数多项式中的典型情况下表现为足够随机的。然后我们使用以下引理引理[2]设 σ > 0 且 ξ m = e 2 πi/m 。设 X i ∼ N (0 , 1) ，其中 i = 1 , 2 , ... , n 是 iid 的，设 { S k ⊆ [ n ] | 1 ≤ k ≤ K } 是集合的有限集合。假设除了至多 δ 部分的成对对称差 S j ∆ S k 之外，所有差集的基数均为 ≥ ( m/σ ) 2 t （其中 j ̸ = k ）。令 Σ k = φ k + σ P i ∈ S k X i ，其中 φ k ∈ [0 , 2 π ) 。然后，期望
用于计算使用Tradeo Q
我们将较早的作品推广到计算与Tradeo Q的简短离散对数，并用Seifert在计算订单上使用Tradeo Q的工作进行桥接，并以Shor的开创性工作在计算订单和一般离散对数方面进行了突破性的作品。尤其是，我们可以在总体离散对数时启用贸易。与Shor的算法相比，这在每次运行中评估的小组操作数量中的降低量最高为2倍，但要付出多次运行。与Shor的算法不同，我们的算法不需要组订单。它同时计算顺序和对数。我们分析了算法引起的概率分布，以及Shor和Seifert的订单填充算法，描述如何在已知解决方案时模拟这些算法，并估算给定最小成功概率所需的运行次数，而在实现差异交易时，则如何运行。
未来的前瞻性准备：量子风险
PQC生成了对量子计算算法（例如Shor's算法）具有抗性的加密算法，并且已经由国家标准技术研究所（NIST）和其他人开发了几年。与公钥加密算法不同，PQC算法不使用整数分解，离散对数或椭圆形曲线离散对数问题，该问题可能会因运行Shor shor算法的量子计算机而破坏。值得注意的是，PQC算法可以在当今的传统计算机而不是量子机上运行。PQC可能是量子抵抗的主要市场解决方案，并且很可能是美国政府的首选解决方案。NIST将于今年最早发布PQC标准的初稿和2024年的标准化版本。
量子计算机上的二进制域蒙哥马利乘法
Google、IBM 等国际公司正在推进大规模量子计算机的研发。量子计算机在某些领域比经典计算机拥有更强大的计算能力，比如深度学习、化学、密码学等。如果研发出能够运行量子算法的大规模量子计算机，那么目前广泛使用的密码算法的安全性可能会降低甚至被突破。Shor 算法已经被证明可以突破 RSA 和椭圆曲线密码 (ECC) 的安全性。RSA 和 ECC 能够使用多久取决于量子计算机的发展和 Shor 算法的优化 [1]。在 [2] 中，作者估计对于 n 位密钥的 RSA，Shor 算法可以应用 2 n + 2 个量子比特。Gidney 估计了改进的 2 n + 1 个量子比特的数量 [3]。Shor 算法也可以应用于椭圆曲线中的离散对数 (即 ECC)。在 [4] 中，作者通过估算解决椭圆曲线离散对数所需的量子资源，指出 ECC 比 RSA 更容易受到量子计算机的攻击。在 [5] 中，作者证明了
了解量子技术 2024
算法：改进了数据加载部分，在数据准备技术中添加了块编码，并在算法中添加了半经典 QFT。改进了 Shor 整数分解算法和 QPE 算法的解释。添加了一个表格，总结了 Shor 整数分解、Shor 离散对数和量子相位估计算法之间的差异。更新了 NISQ 部分，考虑到 IBM 和 Quantinuum QPU 在量子比特保真度方面的最新进展。更好地解释了 DAQC 计算范式。添加了一个图表，定位了解决组合优化问题的经典和量子方法。在复杂性类部分中添加了一些复杂性类：FP、PostBQP。FPTAS、PTAS、APX 和 NPO。更新了一些图表并创建了新的图表。