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无免费午餐定理，kolmogorov的复杂性以及归纳偏见在机器学习中的作用
没有免费的午餐定理用于监督学习的情况，没有学习者可以解决所有问题，或者所有学习者在学习问题上的均匀分布上平均达到完全相同的精度。因此，这些定理通常被引用，以支持个人问题需要特别量身定制的电感偏见。几乎所有均匀采样的数据集具有很高的复杂性，但现实世界中的可能性不成比例地生成低复杂性数据，我们认为神经网络模型具有使用Kol-Mogorov复杂性正式化的相同偏好。值得注意的是，我们表明，为特定域而设计的Ar奇数（例如计算机视觉）可以在看似无关的域上压缩数据集。我们的实验表明，预先训练甚至随机初始化的语言模型更喜欢产生低复杂性序列。虽然没有免费的午餐定理似乎表明单个概率需要专业的学习者，但我们解释了通常需要进行人工干预的任务，例如当稀缺或大量数据可以自动化为单个学习算法时选择适当尺寸的模型。这些观察结果证明了通过越来越小的机器学习模型集合统一看似不同的问题的深入学习的趋势。
编译型异或游戏价值的计算 Tsirelson 定理
非局部博弈是理解纠缠和在具有多个空间分离的量子设备的环境中构建量子协议的基础工具。在这项工作中，我们继续了 Kalai 等人 (STOC '23) 发起的研究，该研究是在经典验证器和单个加密受限的量子设备之间进行的编译非局部博弈。我们的主要结果是，Kalai 等人提出的编译器对于任何双人 XOR 游戏都是可靠的。Tsirelson 的一个著名定理表明，对于 XOR 游戏，量子值由半定程序精确给出，我们通过证明 SDP 上界对于编译的游戏成立，直到编译产生的错误可以忽略不计，从而获得了我们的结果。这回答了 Natarajan 和 Zhang (FOCS '23) 提出的问题，他们展示了 CHSH 游戏特定情况的可靠性。利用我们的技术，我们获得了几个额外的结果，包括（1）并行重复 XOR 游戏的编译值的严格界限、（2）任何编译的 XOR 游戏的运算符自测试语句，以及（3）任何 XOR 游戏的“良好”平方和证书，从中可以看出运算符的刚性。
同构性算法元素定理
两个图G和H是图形F家族的同态性，如果对于所有图F∈F，则从F到G的同态数量等于从F到H的同构数量。比较图形，例如（量子）同构，合适和逻辑等价的许多自然对等关系可以被视为各种图类别的同态性关系。对于固定的图类F，决策问题（F）要求确定两个输入图G和H是否在F上无法区分。众所周知，该问题仅在少数图类别f中可以决定。我们表明，Hom I nd（f）允许每个有界树宽的图类F类随机多项式算法，这在计数Monadic二阶逻辑CMSO 2中是可以定义的。因此，我们给出了第一个一般算法，以确定同态性不可分性。此结果延伸到h om i nd的一个版本，其中图形F类由CMSO 2句子指定，而在树顶上绑定了一个绑定的k，将其作为输入给出。对于固定k，此问题是可随机固定参数的。如果k是输入的一部分，则它是conp-和cow [1] -hard。解决Berkholz（2012）提出的问题时，我们通过确定在k维weisfeiler-Leman算法下确定在k是输入的一部分时确定不可区分性的情况。
定理球形kirigami tessellations
我们介绍了一个定理，该定理限制在球形表面上的kirigami tessellations时，带有图案性缝隙形成了自由形式的四边形网格。我们表明，球形kirigami镶嵌具有一个或两个兼容状态，即，最多有两个沿部署路径的隔离菌株配置。该定理进一步揭示了从球形到平面kirigami tessellations的刚性到扁平的过渡，并且仅当狭缝形成平行四边形空隙以及消失的高斯曲率时，这也通过能量分析和模拟来证实。在应用方面，我们显示了基于定理的Bistable球形圆顶结构的设计。我们的研究为基于欧几里得和非欧几里得几何形状的可变形结构的合理设计提供了新的见解。
随机量子定理
本文介绍了几类与物理学和动态系统理论密切相关的新数学结构。这些结构中最普遍的一种称为广义随机系统，它们共同包含许多重要的随机过程，包括马尔可夫链和随机动态系统。然后，本文陈述并证明了一个新定理，该定理建立了任何广义随机系统与酉演化的量子系统之间的精确对应关系。因此，该定理导致了量子理论的新表述，以及希尔伯特空间、路径积分和准概率表述。该定理还从第一原理的角度解释了为什么量子系统基于复数、希尔伯特空间、线性酉时间演化和玻恩规则。此外，该定理表明，通过选择合适的希尔伯特空间，并选择适当的幺正演化，可以在量子计算机上模拟任何广义随机系统，从而可能为量子计算开辟一系列新颖的应用。
如何引用本文：Geurdes，H。（2023）贝尔定理和爱因斯坦对量子力学的担心。量子信息科学杂志，13，13
尽管人们因在不平等上的工作而被授予诺贝尔普尔（Nobelpriess），这错误地暗示了关闭，但我们将争辩说他们的研究是不完整的。一个人不能从2022年诺贝尔家的贝尔实验研究中得出结论，即爱因斯坦地区被排除在物理现实中。无法通过开始对什么是物理现实的形而上学讨论来避免这种结论。结论是数学。让我们开始注意与Nagata和Nakamura一起写的发表论文，[6]。在这里，对CHSH的数学进行了批判性检查，并解释了有效的反示例。值得注意的是，诺贝尔委员会选择忽略它。有人可能会想知道要限制委员会的观点（社会）力量。在[7]中，一种统计方式被解释为局部违反了CHSH，概率非零。针对[7]的批评绝对没有触及其结论。有可能以非零的概率在本地违反CHSH。其他研究（例如[8]和[9]）也正确地表达了对贝尔的公式和实验的怀疑。显然，委员会认为我们都胡说八道。尽管如此，本作者仍然有足够的理由怀疑这种委员会已应用的搜索范围。此外，更重要的是，我们可以设置以下新的分析形式。让我们注意到，通过允许设置A
神经定理及其在拓扑数据分析中的应用
所有复杂数据分析都由数学模型驱动。因此，高级数学建模可以为高维数据带来新的见解。本文旨在介绍来自代数拓扑领域的数学理论，特别是神经定理。我将逐步证明这一重要结果，该结果在特定条件下保证了拓扑空间与其神经之间的同伦等价性。通过介绍计算方法 Mapper (17)，我将说明神经定理的重要性。Mapper 是拓扑数据分析 (TDA) 领域的一个有用工具，它以单纯复形的形式从高维数据中提取和可视化特征。在本文的最后一章，我将介绍 TDA 和 Mapper 的两个生物医学应用。前面介绍的数学理论和计算方法的影响通过乳腺癌和糖尿病研究 (11; 17) 中的惊人发现变得清晰起来。
量子 EL 定理
量子信息论研究通过量子信道通信的极限。在 Holevo ( 1973 ) 中，证明了 Holevo 界限，该界限提供了可准备和测量混合态的双方共享的经典信息量的上限。Holevo 界限指出，从 n 个量子位中只能访问 n 位经典信息。舒马赫定理 Schumacher ( 1995 ) 给出了存在可靠压缩方案以高保真度压缩和解压缩量子信息的必要和充分条件。关于量子算法潜力的文献很多，其中最著名的是 Shor 的因式分解算法。存在一个将算法和量子力学相结合的相对较新的领域：算法信息论 (AIT) 与量子信息论的交叉点。这个新领域有几个有趣的结果。例如，在 Epstein (2021b) 中，他证明了当将量子测量 (即 POVM) 应用于纯量子态时，绝大多数结果都是毫无意义的随机噪声。这项研究计划涉及寻找 AIT 中定义和定理的量子等价物，其主要概念是 Kolmogorov 复杂度 K(x) 的量子版本。有几种这样的定义可以测量混合或纯量子态中的算法信息内容。在本文中，我们将使用 Vitanyi (2000) 中的定义 K(|ψ⟩)，它表示如果不存在具有高量子保真度的简单（就其经典编码而言）纯态，则纯态 |ψ⟩ 是复数。本文的结果也适用于量子算法熵，G´acs (2001)。在 Epstein (2019) 中，定义了算法信息和随机缺陷的量子等价物。此外，还证明了关于幺正变换的守恒定律不等式。在本文中，我们证明了一个量子 EL 定理。在 AIT 中，EL 定理 Levin (2016)；Epstein (2019) 指出，不包含简单成员的字符串集将与停机序列具有高互信息。它有许多应用，包括所有采样方法都会产生异常值 Epstein (2021a)。量子 EL 定理指出，大秩的非奇异投影在其图像中必须具有简单的量子纯态。非奇异的意思是投影的编码与停机序列的信息量很低。
通过密度概念
经典的轩尼诗 - 米勒纳定理是分析并发过程中的重要工具；它保证在有限分支标记的过渡系统中可以通过模态公式来区分的任何两个非生物性状态。此后，已为广泛的逻辑和系统类型建立了该定理的许多变体，包括定量版本，其中的下限在行为距离上（例如在加权，度量或概率过渡系统中）通过定量模态公式见证。定性版本和定量版本都在煤层逻辑的框架内得到了容纳，并且距离占据数量值的距离受到某些限制，例如所谓的价值数量。虽然先前的定量膜轩尼诗 - 怪物定理仅适用于（伪）度量空间的集合函子的升降器，但在目前的工作中，我们提供了一种定量的colgebraic hennessy-milner定理，该定理更广泛地适用于原始函数本机给原始空间的函数；值得注意的是，我们首次涵盖了连续概率过渡系统的著名轩尼诗 - 米勒纳定理，其中通过Borel对度量空间进行过渡，作为这一总体结果的实例。在此过程中，我们还放宽了对量化的限制，并在闭合概念和密度的概念上进行了参数，从而提供了Stone-Weierstraß定理的相关变体；这使我们能够涵盖行为超法。