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Geomstats：机器学习中黎曼几何的 Python 包
我们介绍了 Geomstats，这是一个开源 Python 包，用于对非线性流形（例如双曲空间、对称正定矩阵空间、变换李群等）进行计算和统计。我们提供面向对象且经过大量单元测试的实现。流形配备了黎曼度量系列以及相关的指数和对数映射、测地线和并行传输。统计和学习算法提供了对流形进行估计、聚类和降维的方法。所有相关操作都被矢量化以用于批量计算，并为不同的执行后端提供支持——即 NumPy、PyTorch 和 TensorFlow。本文介绍了该软件包，将其与相关库进行了比较，并提供了相关的代码示例。我们表明，Geomstats 提供了可靠的构建块，既可以促进微分几何和统计学的研究，又可以使黎曼几何在机器学习应用中的使用更加民主化。源代码可根据 MIT 许可证在 geomstats.ai 上免费获取。
来自纠缠态几何的张量网络表示
如何控制系统规模增大时复杂性的指数增长是量子多体系统理论的主要问题之一。过去二十年，量身定制的 Ansatz 类（如张量网络态）在数值计算 [ 1 – 4 ] 和分析工作 [ 5 , 6 ] 方面取得了巨大进展。这些成果包括基态性质 [ 7 – 9 ]、量子相分类 [ 10 , 11 ]、无序系统 [ 12 – 16 ]、开放量子多体系统的行为 [ 17 , 18 ]、临界系统 [ 19 ]，以及与 AdS / CFT 对应相关的研究 [ 20 ]。此类张量网络方法的核心是通过应用局部线性运算从底层资源状态中获得一类感兴趣的物理状态，这可看作是应用随机局部运算和经典通信 [21]。对于矩阵积态 (MPS) 和投影纠缠对态 (PEPS)，这些状态由最大纠缠态网络给出。对于某些应用，已经引入了其他张量网络结构，如树张量网络 [22, 23] 和多尺度重正化假设 (MERA) [24, 25]，后者捕获了临界系统的基态属性。最近探索的另一种推广 MPS 和 PEPS 的途径允许除了 EPR 对之外的更一般的资源状态 [26-28]。它们基于在多个格点之间共享的多部分量子态，例如 GHZ 态 [27]。在本研究中，我们通过扩展底层资源状态或纠缠结构以及允许的操作类别，进一步推广了这种方法。更准确地说，我们允许单参数近似表示系列，它们可以以任意精度再现感兴趣的状态。我们展示了如何将这些近似表示转换为中等数量张量网络状态的线性叠加的精确表示。这种方法为某些类别的状态提供了更有效的张量网络表示，并产生了一种有效的算法来忠实地重建期望值。此外，我们获得的结果允许以普通 PEPS 的形式模拟或重新表达基于多部分资源状态的张量网络状态，从而能够通过针对 PEPS 的高度优化的方法对这些状态进行数值处理。作为一个具体的例子，我们表明，基于 [ 27 ] 中引入的 GHZ 态的二维方晶格上的半注入 PEPS 具有键维数 D ，可以表示为键维数为 2 D 的正常 PEPS。作为我们结果应用的一个例子，我们考虑共振价键 (RVB) 状态，最初被认为是自旋液体的基态 [ 29 ]，在高温超导理论中也具有重要意义 [ 30 ]。RVB 态也在 PEPS 的背景下得到了广泛的研究 [ 31 – 33 ]。在 [ 31 ] 中引入了该状态的第一个张量网络表示，即键维数等于 3 的 PEPS。我们提出了两种新的状态表示：具有非均匀键维数的 PEPS
多量子比特 Toffoli 门和带有里德堡原子的最佳几何结构
多量子比特 Toffili 门具有实现可扩展量子计算机的潜力，是量子信息处理的核心。在本文中，我们展示了一种原子排列成三维球形阵列的多量子比特阻塞门。通过进化算法优化球面上控制量子比特的分布，大大提高了门的性能，从而增强了非对称里德堡阻塞。这种球形配置不仅可以在任意控制目标对之间很好地保留偶极子阻塞能量，将非对称阻塞误差保持在非常低的水平，而且还表现出对空间位置变化的前所未有的稳健性，导致位置误差可以忽略不计。考虑到固有误差并使用典型的实验参数，我们通过数值方法表明可以创建保真度为 0.992 的 C 6 NOT 里德堡门，这仅受里德堡态衰变的限制。我们的协议为实现多量子比特中性原子量子计算开辟了一个高维原子阵列平台。
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该图说明了如何实现这一点。当目标 (A) 首次进入雷达波束 (1) 时，开始记录每个发射脉冲的反向散射回波。随着平台继续向前移动，在目标处于波束内的整个时间内，记录每个脉冲的目标回波。一段时间后，目标离开雷达波束视野 (2) 的点决定了模拟或合成天线 (B) 的长度。远距离目标的波束最宽，照射时间会比近距离物体更长。随着地面距离的增加，波束宽度的扩大，加上目标在波束内的时间增加，相互平衡，从而使整个扫描带的分辨率保持不变。这种在整个成像扫描带上实现均匀、精细的方位角分辨率的方法称为合成孔径
揭示推向前向生成模型的潜在空间几何
抽象的许多深层生成模型被定义为持续生成器的高斯度量的推动，例如生成的对抗网络（GAN）或变化自动编码器（VAE）。这项工作探讨了这种深层生成模型的潜在空间。这些模型的关键问题是他们在学习断开分布时在目标分布支持之外输出样本的趋势。我们研究了这些模型的性能与它们潜在空间的几何形状之间的关系。基于几何度量理论的最新发展，在潜在空间的尺寸大于模式数量的情况下，我们证明了最佳条件的最佳条件。通过对gan的实验，我们证明了我们的理论结果的有效性，并获得了对这些模型潜在空间几何形状的新见解。此外，我们提出了一种截断方法，该方法在潜在空间中强制执行简单的聚类结构并改善gan的性能。
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该图说明了如何实现这一点。当目标 (A) 首次进入雷达波束 (1) 时，开始记录每个发射脉冲的反向散射回波。随着平台继续向前移动，在目标处于波束内的整个时间内，记录每个脉冲的目标回波。一段时间后，目标离开雷达波束视野 (2) 的点决定了模拟或合成天线 (B) 的长度。远距离目标的波束最宽，照射时间会比近距离物体更长。随着地面距离的增加，波束宽度的扩大，加上目标在波束内的时间增加，相互平衡，从而使整个扫描带的分辨率保持不变。这种在整个成像扫描带上实现均匀、精细的方位角分辨率的方法称为合成孔径
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此图说明了如何实现这一点。当目标 (A) 首次进入雷达波束 (1) 时，开始记录每个发射脉冲的反向散射回波。随着平台继续向前移动，在目标处于波束内的整个时间内，记录每个脉冲的目标回波。一段时间后，目标离开雷达波束视野 (2) 的点决定了模拟或合成天线 (B) 的长度。远距离目标的波束最宽，照射时间会比近距离物体更长。波束宽度的扩大，加上地面距离增加时目标在波束内的时间增加，相互平衡，使得整个扫描带的分辨率保持不变。这种在整个成像带上实现均匀、精细方位角分辨率的方法称为合成孔径
支持燃气轮机数字孪生的数字几何
“数字化”、工业 4.0、数字孪生、数据驱动设计和制造将彻底改变我们的经营方式。本文在发电、燃气轮机和发电厂的工程领域考虑了这一点，并提出了一个问题：如何才能实现数字孪生。数字孪生的核心必须是基于物理的模拟，并面临三大挑战：模拟规模；模拟规模；响应数据驱动的反馈。本文将依次讨论这些问题，并说明表示和管理几何图形的能力是支持数字孪生的数字线程。我们讨论了经典 BREP CAD 的使用以及我们一直在开发的新型数字几何实体建模内核。我们举例说明了我们最近为应对这些挑战而开展的工作。
到达路线的几何形状如何影响排序
本文报告了一项旨在为航站楼区域到达航班排序开发直观航线设计的研究。在引入航线结构以解决传统引导技术的缺点时，高密度环境中的主要挑战是保证在交通高峰期间有效使用这些航线，此时需要某种形式的路径延伸。该研究依赖于实验中心与巴黎戴高乐机场管制员进行的两组迭代小规模人在环模拟。它能够识别关键设计特征，包括与合并点的最小距离以及顺风和基准航线之间的角度。管制员反馈和初步分析表明，即使在高交通高峰下，最终的航线设计也可以促进排序，大大减少引导并使轨迹远离轴线区域。该研究还提供了基于距离演变的初步分析，可以重新用于评估新设计。下一步将是评估实际巴黎戴高乐机场环境中的适用性，这将需要对已确定的特征进行调整。
世界模型的几何形状对基于好奇心探索的影响
在人类的空间意识中，3-D投影几何结构结构信息整合和行动计划，通过视角在内部表示空间内采取。不同观点与世界模型相关的方式并改变了特定的感知和想象方案。在数学中，这种转换的收集对应于一个“群体”，其“动作”表征了空间的几何形状。将世界模型与群体结构相关联，可以捕获不同的代理人的空间意识和负担能力方案。我们将小组动作用作特殊的策略，以进行视角依赖控制。我们探讨了这种几何结构如何影响代理的行为，并比较了欧几里得与投射组如何在主动推断，好奇心和探索行为中对认知价值作用。我们正式演示并模拟了各组如何在简单的搜索任务中诱导不同的行为。根据框架的选择，投影组的非线性放大信息会转化认识价值，从而为感兴趣的对象产生了方法的行为。代理商世界模型中的投射组结构包含了射影的意识模型，该模型已知可以捕获意识的关键特征。另一方面，欧几里得群体对认知价值没有影响：没有动作比最初的闲置状态更好。在构造代理的内部表示形式时，我们展示了几何形状如何在信息集成和行动计划中起关键作用。关键字：几何世界模型；勘探;体现认知科学；认知建模；感知效果耦合