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用于 SPD 流形上域自适应的深度最优传输
摘要 — 机器学习界对解决对称正定 (SPD) 流形上的域自适应问题表现出越来越浓厚的兴趣。这种兴趣主要源于脑信号生成的神经成像数据的复杂性，这些数据通常会在记录会话期间表现出数据分布的变化。这些神经成像数据以信号协方差矩阵表示，具有对称性和正定性的数学性质。然而，应用传统的域自适应方法具有挑战性，因为这些数学性质在对协方差矩阵进行运算时可能会被破坏。在本研究中，我们介绍了一种基于几何深度学习的新型方法，该方法利用 SPD 流形上的最佳传输来管理源域和目标域之间边缘分布和条件分布的差异。我们在三个跨会话脑机接口场景中评估了该方法的有效性，并提供了可视化结果以获得进一步的见解。该研究的 GitHub 存储库可通过 https://github.com/GeometricBCI/Deep-Optimal-Transport-for-Domain-Adaptation-on-SPD-Manifolds 访问。
非线性正常模式作为模型订单还原的不变流形
本章介绍了振动系统的非线性正常模式（NNM），作为相位空间的不变流形，以及它们用于降低非线性结构的模型顺序。nnms被定义为线性正常模式的延续，通过将幅度的主体特征空间的子集实施相切。保守和阻尼动力学以及NNM是时间依赖的强制系统。使用用于不变歧管的参数化方法的系统过程是为其计算而设计的，直接从物理空间运行，并直至任意扩展顺序。在学术示例中的应用显示，以突出该方法处理硬化/软化行为，折叠式歧管的存在和超谐共振的能力。在每种情况下，都会得出具有最小维度和出色精度的降低模型。
通过基于核的 SPD 流形域自适应进行运动想象分类
摘要：背景：记录脑机接口的校准数据是一个费力的过程，对受试者来说是一种不愉快的体验。域自适应是一种有效的技术，它利用来自源的丰富标记数据来弥补目标数据短缺的问题。然而，大多数先前的方法都需要首先提取脑电信号的特征，这会引发 BCI 分类的另一个挑战，因为样本集较少或目标标签较少。方法：在本文中，我们提出了一种新颖的域自适应框架，称为基于核的黎曼流形域自适应 (KMDA)。KMDA 通过分析脑电图 (EEG) 信号的协方差矩阵来绕过繁琐的特征提取过程。协方差矩阵定义了一个对称正定空间 (SPD)，可以用黎曼度量来描述。在 KMDA 中，协方差矩阵在黎曼流形中对齐，然后通过对数欧几里德度量高斯核映射到高维空间，其中子空间学习通过最小化源和目标之间的条件分布距离同时保留目标判别信息来执行。我们还提出了一种将 EEG 试验转换为 2D 帧（E 帧）的方法，以进一步降低协方差描述符的维数。结果：在三个 EEG 数据集上的实验表明，KMDA 在分类准确度方面优于几种最先进的领域自适应方法，BCI 竞赛 IV 数据集 IIa 的平均 Kappa 为 0.56，BCI 竞赛 IV 数据集 IIIa 的平均准确度为 81.56％。此外，使用 E 帧后整体准确度进一步提高了 5.28％。 KMDA 在解决主体依赖性和缩短基于运动想象的脑机接口校准时间方面显示出潜力。
通过 Lipschitz 嵌入和图上的最短路径精确计算流形度量
数据敏感度量自然出现在机器学习中，并且在一些著名方法中起着核心作用，例如 k-NN 图方法、流形学习、水平集方法、单链接聚类和基于欧氏 MST 的聚类（详情见第 5 节和附录 A）。构建合适的数据敏感度量是一个活跃的研究领域。我们考虑一个简单的数据敏感度量，它有一个底层流形结构，称为最近邻度量。该度量最早在 [CFM + 15] 中引入。它及其近似变体在过去已被多位研究人员研究过 [HDHI16、CFM + 15、SO05、BRS11、VB03]。在本文中，我们展示了如何精确计算任意维度的最近邻度量，这解决了任何基于流形的度量最重要和最具挑战性的问题之一。
关于脑电图识别中功能连接特征和riemannian流形的组合的研究
方法：在目前的工作中，我们引入了拉普拉斯矩阵，以将功能连接特征（即相位锁定值（PLV），Pearson相关系数（PCC），频谱相干（COH）和共同信息（MI）转换为半阳性运营商，以确保转换为正面的功能。然后，使用SPD网络来提取深空信息，并采用完全连接的层来验证提取特征的效果。，决策层融合策略用于实现更准确和稳定的识别结果，并研究了不同特征组合的分类性能的差异。更重要的是，还研究了应用于功能连接功能的最佳阈值。
用于发现神经数据中非欧几里得潜在结构的流形 GPLVM
神经科学中的一个常见问题是阐明行为上重要的变量（例如头部方向、空间位置、即将发生的动作或心理空间变换）的集体神经表征。通常，这些潜在变量是实验者无法直接访问的内部构造。在这里，我们提出了一种新的概率潜在变量模型，以无监督的方式同时识别潜在状态和每个神经元对其表征的贡献方式。与以前假设欧几里得潜在空间的模型相比，我们接受这样一个事实，即潜在状态通常属于对称流形，例如球面、环面或各种维度的旋转群。因此，我们提出了流形高斯过程潜在变量模型 (mGPLVM)，其中神经响应来自 (i) 存在于特定流形上的共享潜在变量，以及 (ii) 一组非参数调整曲线，确定每个神经元如何对表征做出贡献。可以使用具有不同拓扑结构的模型的交叉验证比较来区分候选流形，而变分推理可以量化不确定性。我们在几个合成数据集以及果蝇椭圆体的钙记录和小鼠前背丘脑核的细胞外记录上证明了该方法的有效性。众所周知，这些电路都编码头部方向，而 mGPLVM 正确地恢复了代表单个角度变量的神经群体所期望的环形拓扑。
庞加莱对偶定理及其应用
在本次演讲中，我将解释流形 M 的德拉姆上同调与同一空间上的紧支撑上同调之间的对偶性。这种现象被称为“庞加莱对偶”，它描述了微分拓扑中的一种普遍现象，即流形上封闭的、精确可微形式空间与其紧支撑对应物之间的对偶性。为了定义和证明这种对偶性，我将从向量空间对偶空间的简单定义开始，再到向量空间上正定内积的定义，然后定义流形的概念。我将继续定义可微流形上的微分形式及其相应的空间，这些对于此分析是必要的。然后，我将介绍流形的良好覆盖、有限型流形和方向的概念，这些都是定义和证明庞加莱对偶所必需的概念。我将以 M 可定向且承认有限好覆盖的情况下的庞加莱对偶的证明作为结束，并举例说明。
神经网络中非线性潜在结构的动态灵活推理
流形潜在因子和神经观测之间的关系用带有 MLP 编码器和解码器网络的自动编码器 154 建模，其中流形潜在因子是瓶颈 155 表示。从神经观测到流形潜在因子的虚线仅用于 156 推理，不是生成模型的一部分。动态和流形潜在因子共同形成 157 LDM，其中流形因子是动态因子的噪声观测，构成 158 LDM 状态。动态潜在因子的时间演变用线性动态 159 方程描述。所有模型参数（LDM、自动编码器）都是在单次优化中联合学习的，通过最小化未来神经观测与过去的预测误差。在无监督 161 版本中，在训练 DFINE 模型之后，我们使用映射器 MLP 网络来学习 162 流形潜在因子和行为变量之间的映射。我们还扩展到监督式 DFINE，其中映射器 MLP 网络与所有其他模型参数同时进行训练，以达到优化效果，现在可以最小化神经和行为预测误差（方法）。（b）显示了使用 DFINE 的推理过程。我们首先使用每个时间点的非线性流形嵌入来获得流形潜在因子的噪声估计。借助动态方程，我们使用卡尔曼滤波来推断动态潜在因子 𝐱𝐱 𝑡𝑡|𝑘𝑘 并改进我们对流形潜在因子 𝐚𝐚 𝑡𝑡|𝑘𝑘 的估计，下标为
通过低功耗蓝牙实现脑机接口学习的理论...
图 2：Sadtler 等人 (2014) 的 BCI 学习任务。a. 任务结构示意图。受试者首先参与“校准任务”，即他们被动观察屏幕上中心向外的光标移动。记录的运动皮层神经活动用于构建基线解码器并估计内在流形。然后指示受试者在 BCI 控制下执行中心向外的光标移动，首先使用基线解码器，然后使用通过扰动基线解码器构建的扰动解码器。这种扰动可以保持基线解码器与内在流形的对齐（流形内扰动，或 WMP），也可以破坏它（流形外扰动，或 OMP）。b. 内在流形的低维图示及其与本任务中使用的解码器（在方程 3 中定义）的关系。彩色点表示在校准任务的不同试验期间记录的活动模式，由该试验中呈现的光标速度着色。这些刺激的光标速度用右上方插图中的颜色匹配箭头表示，后续光标控制任务中使用的光标目标用绿色菱形表示。引起的神经活动模式主要位于灰色矩形所示的二维平面内，即所谓的内在流形。三个假设的一维解码器用彩色箭头表示，分别标记为基线解码器、WMP 和 OMP。通过将各个活动模式投影到相应的解码器向量上，可以可视化这些解码器的线性读数的相应分量 y 1 。这以绿色标记的一个活动模式为例，图中显示了其在三个解码器上的投影。由于该活动模式靠近内在流形，因此它会从基线解码器和 WMP 产生较大的读数（即远离原点，在三个解码器的交点处），而基线解码器和 WMP 都与内在流形很好地对齐。相比之下，此活动模式通过 OMP 的读数要弱得多（即其在此解码器上的投影更接近原点），因为此解码器远离固有流形。重要的是要记住，此插图是真实任务的简化卡通，其中固有流形是高维的（8-12D 而不是 2D），并且 BCI 任务依赖于两个读数（y 1 ，y 2 ），而不是一个。
资产阶级接触结构：紧密性、可填充性和应用
摘要 给定流形 V 上的接触结构及其支持的开卷分解，Bourgeois 给出了 V × T 2 上接触结构的显式构造。我们证明所有这样的结构在 5 维上都是普遍紧的，而与原始接触流形本身是紧的还是过度扭曲的无关。在任意维度上，我们提供了 Bourgeois 流形强辛填充的存在性障碍。这给出了一类弱但不强可填充接触 5 流形的新例子，以及所有奇数维中弱但不强可填充接触结构的第一个例子。这些障碍是 S 1 不变接触流形的更一般障碍的特殊例子。我们还得到了任意维度上的分类结果，即 n 环面的单位余切丛具有唯一的辛非球面强填充直到微分同胚。