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经济增长：第 7 讲，世代交叠
定理（第一福利定理 I）假设 ( x ∗ , y ∗ , p ∗ ) 是经济 E ≡ ( H , F , u , ω , Y , X , θ ) 的竞争均衡，其中 H 有限。假设所有家庭都是局部非饱和的。则 ( x ∗ , y ∗ ) 是帕累托最优的。
第 7 讲 - 量子程序和汉密尔顿模拟
之所以将其称为汉密尔顿模拟算法，是因为它类似于一类非常重要的量子算法，这些算法采用汉密尔顿量 H 的经典描述、时间 t、输入状态 | θ ⟩ 和输出（近似值）e − iHt | θ ⟩ 。这是我们所知的量子计算最重要的应用之一。这与 LMR 算法的区别在于，汉密尔顿量以量子形式提供。
第 10 讲：重力、功和能量守恒
力方向上的距离。示例：两匹马拉着一辆临时雪橇上的一名男子。男子和雪橇的总质量为 204 公斤，雪橇和地面之间的摩擦力为 700 N。当马拉雪橇时，三条链条中的每一条都具有 396 N 的张力，并且相对于水平方向成 30.0° 的角度，它们将男子拉动了 20.2 米的距离。确定 A) 其中一条链条对雪橇所做的功，B) 其中一条链条对马所做的功，以及 C) 摩擦对雪橇所做的功。
第六讲：角动量、自旋和统计
除了轨道 AM，量子粒子还具有自旋，其起源于相对论，可以将其视为与粒子围绕自身的固有动态旋转有关。自旋与轨道 AM 一样具有离散光谱。电子自旋的 l 值等于 ½，其沿任何给定方向的分量取值 (自旋 ½)。与电子自旋相关的量子态在二维希尔伯特空间中演化，其算符可以表示为恒等算符和三个泡利算符的线性组合，这些算符与三个正交空间方向上的自旋分量成比例。我们使用 Bloch 球面的便捷表示来描述这些算符及其本征态的属性。此表示可用于描述在二维希尔伯特空间中演化的任何系统，例如量子信息中的量子比特。我们将在后续讲座中广泛使用这种表示。
第 8 讲 新古典内生增长
命题考虑上述 AK 经济，其中代表性家庭的偏好由 (1) 给出，生产技术由 (6) 给出。假设条件 (12) 成立。那么，存在一条唯一的均衡路径，其中消费、资本和产出都以相同的速率 g ∗ ≡ ( A − δ − ρ ) / θ > 0 增长，从任何初始正的人均资本存量 k ( 0 ) 开始，储蓄率由 (16) 内生决定。
第 15 讲 量子密钥分发
– 有人可能会说这还不是 Eve 的最佳策略。Eve 无法不受干扰地提取信息，因为她不知道状态基础。但是，Alice 和 Bob 将在稍后阶段宣布基础，然后 Eve 可以存储状态并对其进行测量，直到基础信息被披露。对此类攻击的安全性的严格证明超出了范围，因此我们在这里仅直观地展示它为何有效。基本思想实际上仍然是信息 - 扰动关系。由于 Eve 不知道基础信息，因此无论在基础宣布之前还是之后，每当 Eve 试图获取任何信息时，她都必须在状态传输阶段对量子态施加一些扰动。否则，她所拥有的状态将独立于 Alice 发送的状态，即使她知道基础，她也无法获得任何信息。然后，如果她对传输状态施加任何扰动，Alice 和 Bob 将从相位或比特错误中知道这一点，并且这些信息将在隐私放大和纠错阶段提取出来。
经济增长：第 8 讲，世代交叠
命题在上述经济中，存在着禀赋向量 ω 到 ~ ω 的重新分配，以及相关的帕累托最优竞争均衡 ( ¯ p , ˜ x )，其中 ˜ x 如上所述，且 ¯ p 使得对于所有 j ∈ N ，¯ pj = 1。