我们对通过测量已知温度的吉布斯热态来估计未知汉密尔顿参数的最佳精度设定了上限和下限。界限取决于包含参数的汉密尔顿项的不确定性以及该项与完整汉密尔顿量的不交换程度：不确定性越高和交换算子越多，精度越高。我们应用界限来表明存在纠缠热态，使得可以以比 1 = ffiffiffi np 更快的误差来估计参数，从而超过标准量子极限。这个结果支配着汉密尔顿量，其中未知标量参数（例如磁场分量）与 n 个量子比特传感器局部相同耦合。在高温范围内，我们的界限允许精确定位最佳估计误差，直至常数前因子。我们的界限推广到多个参数的联合估计。在这种情况下，我们恢复了先前通过基于量子态鉴别和编码理论的技术得出的高温样本缩放。在应用中，我们表明非交换守恒量阻碍了化学势的估计。