| ax⟩= a | ψ⟩。此外,任何两个状态| ψ⟩,可以通过形成叠加|将X x组合成新状态。 ψ +x⟩= | ψ⟩ + | x⟩。矢量空间是希尔伯特空间,即,它配备了标量产品,该产品与复杂的数字⟨|相关联。 x x到任何一对状态| ψ⟩, x⟩。标量产品是正定的,⟨ψ| ψ⟩> 0 for | ψ⟩̸= 0 | ψ⟩和完整填充⟨| x⟩=⟨X| ψ⟩ *。此外,它在第二个参数中是线性的,但是在第一个参数(即⟨ψ|)中有线性。 ah⟩=a⟨ψ| x⟩,⟨ape| x⟩=α∗⟨月| x⟩,⟨ψ + ϕ | x⟩=⟨⟨| x⟩ +⟨ϕ | x⟩,⟨ψ| ϕ +x⟩=⟨ψ| ϕ +⟨ψ| x⟩。正式,标量产品可以解释为产品⟨ψ| ·向量之间的x⟩| x⟩和实体⟨ψ| ,这形成了双向量空间。它们代表标量产品中的左雕像,因此也是偶联的线性:⟨aph + bx | =α∗⟨| | + b ∗⟨x| 。此处介绍的特定符号是所谓的Dirac符号。在这种情况下,双向量也称为胸罩,普通向量称为ket,暗示了标量产品中的⟨ψ|中的事实。 x⟩他们形成一个支架(胸罩)。我们致电|| ψ|| = p