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第二，我们应用了这些尖锐的定量Faber-Krahn不平等现象，以建立Alt-Caffarelli-Friedman（ACF）单调性公式的定量形式。在研究自由边界问题的一个强大工具中，ACF单调性公式对于任何一对可允许的亚谐波函数而言，其缩放参数无引起措施，并且仅当对两对构成两个线性函数时，却是恒定的。我们表明，ACF单调性公式的能量下降从一个量表到下一个量表，可以控制一对可允许的功能与一对互补的半平面溶液的接近程度。尤其是，当能量下降的平方根在所有尺度上概括时，我们的结果意味着这些函数的切线（独特爆炸）的存在。
尖锐的定量faber-krahn不平等和alt- ...
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