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人类棋盘格和导航图像中单次试验表面脑电图和源的黎曼分类
自从发现 [1,2] 以来，EEG 已越来越多地应用于基础研究、临床研究和工业研究。针对每个领域，都陆续开发出了特定的工具。这些工具包括：(i) 利用微电极进行脑内记录 [3,4]，该方法可以识别 EEG 信号的神经元来源，并更好地理解 EEG 活动的生理机制；(ii) 大平均法，包括由重复事件 (视觉、听觉、体感……) 触发的一系列试验的平均值 [5]，该方法开启了诱发相关电位 (ERP) 领域的研究，最近包括 EEG 源发生器 [8–10] 在内的 EEG 动力学工具 [6,7] 丰富了这一研究领域； (iii) 将 EEG 用于神经反馈和脑机接口 (BCI) [ 11 , 12 ]。过去，这些领域及其相关工具是分开发展的，但计算资源和实验数据的日益普及推动了横向方法和方法论桥梁的发展。视觉诱发电位 (VEP) 是一种特殊的 ERP，从枕叶皮质记录的 EEG 信号中提取，可由不同类型的视觉刺激触发，从简单（如棋盘格）[ 13 ，第 14 页，15 ] 到更复杂的视觉刺激（如人脸、3D 或运动图像）[ 14 , 16 – 20 ]。VEP 是通过计算大量正在进行的 EEG 信号试验的总平均值获得的（见公式 1），从而产生精心设计且易于识别的电位，随后可用于更好地理解视觉输入的连续处理阶段。然而，这些诱发反应来自至少两种不同的机制，分别源自加法模型或振荡模型 [8, 21 – 24]。对于加法模型，诱发反应来自对感觉输入的自下而上的连续处理。这会产生特定序列的单相诱发成分峰，这些峰最初嵌入自发 EEG 背景中。后者 EEG 活动被视为噪声，并通过随后的平均排除。对于振荡模型，诱发电位可能是由于特定频带内正在进行的 EEG 节律的相位锁定所致。这种 EEG 相位重组可以通过试验间一致性 (ITC) 来测量，作为对外部刺激的反应。从根本上讲，只有当相关 EEG 功率没有同时变化（增加或减少）时，这种测量才有意义。在这种情况下，我们处于纯相位锁定状态，诱发反应仅归因于正在进行的 EEG 振荡的重组。例如，体感诱发电位的 N30 分量就是这种情况，其中 70% 的幅度归因于纯相位锁定 [ 25 ]。事实上，在大多数 ERP 研究中，会出现混合情况（功率变化和相位锁定），这使得基础和临床解释变得困难。另一个缺点是，在大多数诱发电位研究中，对一组受试者进行的是总体平均值。虽然总体平均值方法可以得到适当的统计数据[26]和关于基本或临床结果的实际结论，但它掩盖了从临床角度来看可能至关重要的个体特性。当诊断工具基于总体平均值诱发电位[27]时，这个问题尤其重要。同样，对总体平均值数据应用逆建模[10,28]可以非常有效地识别ERP发生器[19,29-31]，但不利于确定个体特征。面对这些缺点，
使用黎曼迁移学习最小化 BCI 的主体相关校准
摘要 — 校准仍然是脑机接口 (BCI) 用户体验的重要问题。常见的实验设计通常涉及较长的训练期，这会增加认知疲劳，甚至在开始使用 BCI 之前。依靠先进的机器学习技术（例如迁移学习），可以减少或抑制这种依赖于受试者的校准。基于黎曼 BCI，我们提出了一种简单有效的方案，根据从不同受试者记录的数据训练分类器，以减少校准同时保持良好的性能。本文的主要新颖之处在于提出了一种可应用于非常不同范式的独特方法。为了证明这种方法的稳健性，我们对三个 BCI 范式的多个数据集进行了荟萃分析：事件相关电位 (P300)、运动意象和 SSVEP。依靠 MOABB 开源框架来确保实验和统计分析的可重复性，结果清楚地表明，所提出的方法可以应用于任何类型的 BCI 范式，并且在大多数情况下可以显著提高分类器的可靠性。我们指出了一些进一步改进迁移学习方法的关键特征。
带边界的渐近双曲riemannian歧管的阳性质量定理
接下来，通过与（2）相似的计算来检查平均曲率，相对于正常指向附近的共包构边界，通过与（2）的计算进行检查，将证明简化为与球形拓扑处的单个共形边界的情况。We can therefore cut away an asymptotic end of M by introducing a new boundary component { Ω= ϵ } , with ϵ sufficient small so that this new boundary component satisfies, say, H > 0 with respect to the outward normal (thus H < 0 < n − 1 with respect to the inward normal).此边界组件将成为新的，截断，多种多样的边界的一部分，但仍以m表示。
黎曼流形上的差分隐私
在这项工作中，我们考虑了发布驻留在黎曼流形上的差分隐私统计摘要的问题。我们提出了拉普拉斯或 K 范数机制的扩展，该机制利用了流形上的固有距离和体积。我们还详细考虑了摘要是驻留在流形上的数据的 Fréchet 平均值的特定情况。我们证明了我们的机制是速率最优的，并且仅取决于流形的维度，而不取决于任何环境空间的维度，同时还展示了忽略流形结构如何降低净化摘要的效用。我们用两个在统计学中特别有趣的例子来说明我们的框架：对称正定矩阵的空间，用于协方差矩阵，以及球面，可用作离散分布建模的空间。
在亚里曼歧管和应用的路径空间上的功能不平等
我们考虑了由歧管的路径空间，该路径空间是由随机流动引起的，其无限发电机是低纤维化的，但不是椭圆形的。这些发电机可以看作是具有选择补体的亚riemannian结构的亚拉普拉斯人。我们以梯度运算符在L 2中的方式介绍了路径空间上圆柱功能的梯度概念。有了该结构，我们表明，水平RICCI曲率的结合相当于路径空间上功能的几种不等式，例如梯度不等式，Log-Sobolev不平等和POINCARé不平等。因此，我们还获得了Ornstein -Uhlenbeck操作员光谱间隙的结合。©2021作者。由Elsevier Ltd.这是CC下的开放访问文章（http://creativecommons.org/licenses/4.0/）。
基于脑电图的SPD神经网络嵌入银行以嵌入银行的常见空间模式
将非线性数据建模为Riemannian歧管上的对称阳性定义（SPD）矩阵，引起了对各种分类任务的广泛关注。在深度学习的背景下，基于SPD矩阵的Riemannian网络已被证明是对电子脑电图（EEG）信号进行分类的有前途的解决方案，可在其结构化的2D特征表示中捕获Riemannian几何形状。但是，现有方法通常在嵌入空间中学习所有可用的脑电图中的空间结构，其优化程序依赖于计算 - 昂贵的迭代。此外，这些十种方法努力将所有类型的关系船编码为单个距离度量标准，从而导致一般性丧失。为了解决上述局限性，我们提出了一种riemannian嵌入银行方法，该方法将整个填充空间中常见的空间模式学习的概率分为k个缩写，并为每个子问题构建一个模型，与SPD Neural Net-net Works结合使用。通过利用Riemannian歧管上的“独立学习”技术的概念，Reb将数据和嵌入空间划分为k非重叠子集中，并在Riemannian ge-be-emetric Space中学习K单独的距离指标，而不是向量空间。然后，在SPD神经网络的嵌入层中，学习的K非重叠子集分为神经元。公共脑电图数据集的实验结果证明了尽管非平稳性质，但提出的脑电图信号的常见空间模式的拟议方法的优越性，在维持概括的同时提高了收敛速度。
QGOPT：量子技术的Riemannian优化
量子技术中的许多理论问题可以被提出并作为约束优化问题来解决。最常见的量子机械约束，例如，等距和单位矩阵的正交性，量子通道的CPTP特性以及密度矩阵的条件，可以看作是商或嵌入的riemannian歧管。这允许使用Riemannian优化技术来解决量子力学约束优化问题。在当前的工作中，我们介绍了Qgopt，这是量子技术中约束优化的库。QGOPT依赖于量子力学约束的基础riemannian结构，并允许在保留量子机械约束的同时应用基于标准梯度的优化方法。此外，QGOPT写在张量之上，这使自动分化能够计算优化的必要梯度。我们显示了两个申请示例：量子门分解和量子断层扫描。
Geomstats：机器学习中黎曼几何的 Python 包
我们介绍了 Geomstats，这是一个开源 Python 包，用于对非线性流形（例如双曲空间、对称正定矩阵空间、变换李群等）进行计算和统计。我们提供面向对象且经过大量单元测试的实现。流形配备了黎曼度量系列以及相关的指数和对数映射、测地线和并行传输。统计和学习算法提供了对流形进行估计、聚类和降维的方法。所有相关操作都被矢量化以用于批量计算，并为不同的执行后端提供支持——即 NumPy、PyTorch 和 TensorFlow。本文介绍了该软件包，将其与相关库进行了比较，并提供了相关的代码示例。我们表明，Geomstats 提供了可靠的构建块，既可以促进微分几何和统计学的研究，又可以使黎曼几何在机器学习应用中的使用更加民主化。源代码可根据 MIT 许可证在 geomstats.ai 上免费获取。
使用Riemannian歧管上的距离比较大脑中的表示形式和模型
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