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数学 III - 课程框架 (加州教育部)
在数学 III 中，学生了解多项式系统和整数系统之间的结构相似性。学生利用多项式算术和十进制计算之间的类比，重点关注运算性质，特别是分配性质。他们将多项式乘法与多位整数乘法联系起来，将多项式除法与整数长除法联系起来。学生识别多项式的零点，并将多项式的零点与多项式方程的解联系起来。他们对多项式表达式的研究最终以代数基本定理结束。有理数通过允许除 0 之外的所有数字来扩展整数的算术。类似地，有理表达式通过允许除零多项式之外的所有多项式来扩展多项式的算术。使用有理表达式的一个中心主题是，有理表达式的算术受制于与有理数算术相同的规则。
![arxiv：2502.07284v1 [cs.cr] 2025年2月11日](/simg/d\df3ff0a7ad3180706db8db5ea47d521c49976c22.webp)
arxiv：2502.07284v1 [cs.cr] 2025年2月11日
摘要。基于晶格的密码学是量子后安全加密方案的有前途的基础，其中有错误的学习（LWE）问题是钥匙交换，收益和同构计算的基石。LWE的现有结构化变体，例如Ring-Lwe（RLWE）和Module-Lwe（MLWE），依靠多项式环以提高效率。但是，这些结构固有地遵循传统的多项式乘法规则，并以它们表示结构化矢量化数据的能力来实现。这项工作介绍了多种元素（VLWE），这是建立在代数几何形状基于代数几何形状的新的结构化晶格概率。与RLWE和MLWE不同，后者使用标准乘法使用多项式环，VLWE在代数品种定义的多元多项式环上使用VLWE操作。一个关键的区别是这些多项式不包含混合变量，并且乘法操作是定义的坐标，而不是通过标准的多项式乘法。该结构可以直接编码和同态处理高维数据，同时保持最差的案例至平均案例硬度降低。我们通过将VLWE的安全性降低到解决理想SVP的多个独立实例中，证明了其针对分类和量子攻击的弹性。此外，我们分析了混合代数武器攻击的影响，表明现有的Gröbner基础和降低技术并不能直接损害VLWE的安全性。建立在该基础上，我们基于VLWE构建了矢量同态加密方案，该方案支持结构化计算，同时维持受控的噪声增长。此方案为隐私的机器学习，加密搜索和对结构化数据的计算进行了潜在的优势。我们的结果位置VLWE是基于晶格的密码学中的一种新颖而独立的范式，杠杆几何形状可以使新的加密功能超出传统的多项式戒指。
Farahani，H。（2025）。探索用于实践解决问题的应用程序的Gröbner基础。计算算法和数字维度，4（2），95-10Farahani，H。（2025）。探索用于实践解决问题的应用程序的Gröbner基础。计算算法和数字维度，4（2），95-10
gröbner基础理论是计算代数中的一个基本概念，尤其是在多项式理想的研究中。Gröbner基地的历史可以追溯到奥地利数学家WolfgangGröbner和他的学生Bruno Buchberger的作品。尽管Gröbner本人并没有提出这个概念，但他在代数几何学和环理论中的工作奠定了重要的基础。GröbnerBases的概念以他的荣誉命名。Gröbner基础理论的正式发展始于Buchberger的博士学位。 1965年，在沃尔夫冈·格布纳（WolfgangGröbner）的监督下，在1965年在因斯布鲁克大学（University of Innsbruck）举行。Buchberger引入了一种算法（现在称为Buchberger算法），用于在多项式环中为给定的理想构建Gröbner基础。该算法将方法转化为多项式方程，
通过过滤解决平均格子问题变体的量子算法
因此，为了展示最坏情况下近似 SVP 的有效量子算法，只需为任何一个平均情况问题构建一个有效的量子算法即可。然而，对于 SIS 或 LWE，还没有已知的多项式（甚至是亚指数）时间量子算法。对于 DCP，Kuperberg [Kup05] 给出了一个亚指数量子算法。但 Regev [Reg02] 展示的量子约化要求 DCP 算法具有噪声容忍度，而 Kuperberg 的算法则不然。我们还要提到，在过去几年中，[CGS14、EHKS14、BS16、CDPR16、CDW17] 中已经展示了在某些参数范围内理想格的 SVP 的有效量子算法。尽管如此，展示一个针对所有格具有多项式近似因子的 SVP 的多项式（甚至是亚指数）时间量子算法仍然是公开的。
用户级差分私有随机凸优化
我们在用户级别的隐私下研究了差异化私有随机凸优化（DP-SCO），每个用户可以持有多个数据项。用户级DP-SCO的现有工作要么需要超多项式运行时[Ghazi等，2023b]，要么要求用户数量在问题的维度上以额外的严格影响[Bassily and Sun，Sun，2023]在问题的维度上生长。我们为用户级DP-SCO开发了新的算法，这些算法在多项式时间内获得了凸面和强烈凸功能的最佳速率，并要求用户数量仅在维度上对数增长。我们的算法是第一个在多项式时间内获得非平滑函数的最佳速率。这些算法基于多通道DP-SGD，与集中数据的新型私人平均估计程序合并，该过程在估算梯度的平均值之前对较高的删除步骤进行了分类。
数据科学和genai
•介绍机器学习•监督和不受监督的学习之间的差异•分类和回归之间的差异•机器学习应用•数据科学项目生命周期•线性回归理论•线性回归理论•成本功能•使用梯度下降使用梯度下降的优化梯度解释•梯度解释•模型下降•模型误差•平均正方误差•平均正方误差•多态性误差•多态多态，多态多态，多态，多态，多态，多态，多态，多态，多态，多态，多态，多态，多态误差，使用Python进行回归•过度拟合，不适合，合适的拟合•逻辑回归•理解逻辑回归一步一步矩阵
关于明显策略的计算特性——......
接下来，我们为 SP 和 OSP 问题的复杂性建立上限。当选择规则不是策略证明时，可以通过为一个代理提供类型配置文件和可获利偏差来证明这一点。这种证明可以在多项式时间内进行检查，因此具有电路输入的 SP 决策问题属于共同 NP 。具有电路输入的 OSP 问题是否属于共同 NP ？也就是说，当给定选择规则不存在 OSP 机制时，是否总能快速证明不存在？我们通过利用先前开发的 O-dag 结构来证明这一点。我们发现，当且仅当其 O-dag 的某个非单例顶点没有子节点时，选择规则不存在 OSP 机制。因此，可以通过展示这样的顶点并证明它没有子节点来证明 OSP 问题不存在 -实例，这可以在多项式时间内完成。上述结果表明 SP 和 OSP 问题在电路输入下是共同 NP 完全的。也就是说，它们与共同 NP 中最难的问题一样难，但不会比它们更难。这意味着任何一个问题都可以在多项式时间内归结为另一个问题。总之，我们的结果表明，尽管考虑扩展形式会带来明显的障碍，但决定选择规则是否具有相应的 SP 机制或 OSP 机制同样复杂。有了表输入，人们可以在多项式时间内决定 OSP 问题并构建机制。有了电路输入，当所需的机制不存在时，总会有一个简短的断言证明。
统计中的张量方法
3 Generalized Cumulants 61 3.1 Introduction and definitions 61 3.2 The fundamental identity for generalized cumulants 62 3.3 Cumulants of homogeneous polynomials 64 3.4 Polynomial transformations 65 3.5 Complementary set partitions 68 3.5.1 Equivalence classes 68 3.5.2 Symbolic computation 69 3.6 Elementary lattice theory 70 3.6.1 Generalities 70 3.6.2分区晶格的m obius功能72 3.6.3包含 - 排斥和二进制晶格74 3.6.4累积和分区晶格75 3.6.5累积的进一步关系77 3.7一些示例77 3.7一些涉及线性模型80 3.8累积空间82 3.9 Gaussian Momments 82 Rysents 85 3.9.19.1.1 issers85。拉普拉斯近似88 3.10.1两人分期膨胀88 3.10.2正式拉普拉斯扩张89 3.11书目注释90 3.12进一步的结果和练习3 92
数字平台经济指数2020
Figure 1: The platform-based ecosystem 4 Table 1: Keys to Building a Sustainable Digital Platform Economy 5 Figure 2: The structure of DPE index 7 Table 2: The DPE index ranking of the countries, 2020 14 Figure 3: The connection between development and the DPE Index scores (third-degree polynomial adjustment) 15 Table 3: The four sub-index scores and ranking of the first 25 countries 16 Table 4: The four groups of the countries and average基于十二个支柱的支柱得分17图4：通过支柱18的欧洲国家图5：基于DE和EE分数之间的差异以及与发展隐含趋势线的偏差。19表5：关于DPE指数趋势线偏差以及数字生态系统/企业家生态系统混合21的建议政策建议21图6：全球前100名平台公司（2020年6月）22 22