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具有对称性的量子态的一般纠缠熵
摘要：当从希尔伯特空间均匀随机地抽取量子纯态时，该状态通常是高度纠缠的。随机状态的这种特性被称为量子态的一般纠缠，长期以来一直从黑洞科学到量子信息科学等多个角度对其进行研究。在本文中，我们探讨了量子态的对称性如何改变一般纠缠的性质。更具体地说，我们研究从给定对称性的不变子空间均匀随机抽取的量子态的二分纠缠熵。我们首先将众所周知的浓度公式扩展到适用于任何子空间的公式，然后表明：1. 与轴对称相关的子空间中的量子态仍然高度纠缠，尽管它比没有对称性的量子态的纠缠程度要低；2. 与置换对称相关的量子态的纠缠程度明显较低；3. 具有平移对称性的量子态与一般量子态一样纠缠。我们还用数字方式研究了一般纠缠分布的相变行为，这表明即使随机状态具有对称性，相变似乎仍然存在。
最大相对熵和条件最小......
我们可以更一般地为任何半正定算子 P 定义该函数，以代替密度算子 ρ ，但我们的重点将放在第一个参数为密度算子的情况。考虑量子相对熵的一种方法是，它表示以比特为单位的效率损失，当一个人提前计划 Q 但却收到 ρ 时，就会产生这种损失。这是非常不正式的，不应太当真，但我们将允许这种直观的描述来提出一些有用的术语：为了方便起见，我们将量子相对熵中的第二个参数 Q 称为模型，将第一个参数 ρ 称为实际状态。无论我们如何选择解释量子相对熵函数，都不能否认它作为“辅助函数”的巨大效用，通过它可以定义和分析基本熵量。特别是，条件量子熵和量子互信息在
量子相对熵的一般连续性边界
在这里，g是感兴趣的熵量，s 0是固定二维的希尔伯特空间中量子状态s（h）的合适子集，而d是s（h）上的度量标准。这种形式的界限有悠久的历史。在1973年，范内斯[2]证明了von Neumann熵的均匀连续性边界，在[3]，[4]中得到了锐化。后来的Alicki和Fannes证明了条件性熵的不平等[5]，冬季在[6]中改善到了几乎紧密的版本。Shirokov [7]，[8]所实现的，冬季和相关版本[9]，[10]的证明不仅适用于条件熵，而且可以概括并适用于各种熵数量。shirokov创造了Alicki-Fannes-Winter（AFW）方法。本文沿着这一工作继续进行，进一步推广了该方法。我们的目的是超越透明量的熵量[11]，将其定义为
量子逻辑熵：基本原理和一般性质
熵是概率论和物理学中最重要的概念之一。尽管信息似乎没有一个精确的定义，但香农熵被视为有关某个系统的信息的重要量度，而吉布斯熵在统计力学中起着类似的作用。冯·诺依曼熵是这些经典量度在量子领域的一种可能的、在某种意义上是自然的延伸。尽管冯·诺依曼熵在量子信息的许多应用中发挥着基础性的作用，但它仍因多种不同原因而受到批评[1-3]。简而言之，虽然经典熵表示人们对系统的无知[4]，但量子熵似乎具有根本不同的含义，它对应于信息的先验不可访问性或非局部关联的存在。从这个角度来看，经典熵涉及主观 / 认识论的不确定性，而量子熵与某种形式的客观 / 本体论的不确定性相关 [5]，尽管这种推理存在争议。为了解决像这样的概念问题，提出了非加性 Tsallis 熵和其他度量 [1, 6, 7]。经典逻辑熵最近由 Ellerman [8, 9] 引入，作为源自分区逻辑的信息度量。因此，这种熵给出了集合 U 分区的区别。分区 p 被定义为集合中不相交部分的集合，如图 1a 所示。集合可以被认为最初是完全不同的，而每个分区都会收集那些区别已被分解的块。每个块表示与集合上的等价关系相关联的元素。然后，给定一个等价关系，一个块的元素之间是模糊的，而不同的块彼此不同。考虑到这些概念，将这种划分和区分框架扩展到量子系统的研究似乎可以为量子态鉴别、量子密码学和量子信道容量问题带来新的见解。事实上，在这些问题中，我们以某种方式对可区分状态之间的距离测量感兴趣，这正是逻辑熵所关联的知识类型。这项工作是之前提出研究量子逻辑熵的预印本的更新和扩展版本 [ 10 ]。在这个新版本中，与原始版本一样，我们主要关注这个量的基本定义和属性。其他高级主题要么在之前的研究中处理过，比如 [ 11 ]，要么留待将来研究。然而，正如将在整篇文章中进一步阐述的那样，这里介绍的结果为各种理论应用奠定了基础——甚至对于涉及后选系统的场景也是如此。
随机状态和黑洞的相对熵
我们研究高度激发量子态的相对熵。首先，我们从 Wishart 集合中抽取状态，并开发出一种大 N 图解技术来计算相对熵。该解决方案以基本函数的形式精确表示。我们将分析结果与小 N 数值进行比较，发现它们完全一致。此外，随机矩阵理论结果与混沌多体本征态的行为精确匹配，这是本征态热化的表现。我们将这种形式应用于 AdS = CFT 对应，其中相对熵测量不同黑洞微态之间的可区分性。我们发现，即使观察者对量子态的访问量任意小，黑洞微态也是可区分的，尽管这种可区分性在牛顿常数中非微扰地小。最后，我们在子系统本征态热化假设 (SETH) 的背景下解释这些结果，得出结论，全息系统服从 SETH，直到子系统达到整个系统的一半大小。
物理学中的熵：定义概述和...
在现代物理学中，熵是一个众所周知的重要数量。在其核心上，熵是分布的概率的函数，该概率旨在描述由该分布表示的随机过程的不确定性。但是，它已用于许多不同的领域，因此有许多解释。此外，许多不同的功能都以熵的名称进行了分组，所有功能都具有自己的用途和解释。在这项工作中，我们讨论了许多这些功能的定义，起源和解释以及它们如何结合在一起。我们还将明确介绍熵在物理学中发现的某些应用，尤其是在量子物理学中。这些应用包括热力学，量子力学的测量不确定性，密度矩阵形式主义的混合性测量，相位空间形式主义，纠缠量的测量以及QCD中的Parton分布。
玻尔兹曼熵与冯·诺依曼
我们提出了一种方案，利用数值“精确”分层运动方程 (HEOM) 中的准静态亥姆霍兹能量，评估在时间相关外力作用下与热浴耦合的系统的热力学变量。我们计算了不同温度下与非马尔可夫热浴强耦合的自旋系统产生的熵。我们表明，当外部扰动的变化足够缓慢时，系统总会达到热平衡。因此，我们基于 HEOM 计算了等温过程的玻尔兹曼熵和冯诺依曼熵，以及准静态平衡系统的各种热力学变量，例如内部能量、热量和功的变化。我们发现，尽管玻尔兹曼和冯诺依曼情况下的系统熵作为系统-浴耦合强度的函数的特征相似，但总熵产生的特征完全不同。在玻尔兹曼情况下，总熵产生总是正的，而在冯·诺依曼情况下，如果我们选择整个系统的热平衡状态（未分解的热平衡状态）作为初始状态，则总熵产生为负。这是因为冯·诺依曼情况下的总熵产生没有适当考虑系统-浴相互作用的熵贡献。因此，必须使用玻尔兹曼熵来研究完全量子状态下的熵产生。最后，我们检查了 Jarzynski 等式的适用性。
量子熵将物质与几何结合起来
摘要 我们提出了一种将物质场与高阶网络（即细胞复合体）上的离散几何耦合的理论。该方法的关键思想是将高阶网络与其度量的量子熵相关联。具体来说，我们提出了一个具有两个贡献的作用。第一个贡献与度量与高阶网络相关联的体积的对数成正比。在真空中，这个贡献决定了几何的熵。第二个贡献是高阶网络的度量与物质和规范场诱导的度量之间的量子相对熵。诱导度量根据拓扑旋量和离散狄拉克算子定义。定义在节点、边和高维细胞上的拓扑旋量为物质场编码。离散狄拉克算子作用于拓扑旋量，并通过最小替换的离散版本依赖于高阶网络的度量和规范场。我们推导了度量场、物质场和规范场的耦合动力学方程，提供了在离散弯曲空间中获取场论方程的信息论原理。
练习表 5：熵和量子示例
第二个不等式——替代解决方案。第二个不等式也可以使用拉格朗日乘数来证明。具体而言，如果所有 px := p ( x ) > 0，我们可以计算梯度 (grad H ( X )) px = − log( px ) − 1。结合限制 P xpx = 1，我们得到方程 − log( px ) − 1 + λ = 0。由于 log 是单射函数，因此只有所有 px 相等时才会出现这种情况。然后它们都必须等于 1 / |X|，因此在 px = 1 / |X| 处评估 H ( X ) 会得出第二个不等式。事实上，X 上的均匀分布是熵的唯一最大化器。这可以看出如下：可以很容易地检查，对于某个倍数 x ∈ X，当 px = 0 时，只需在非零 px 上重复上述论证，就不会产生更大的值。
