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pyRiemann-qiskit：基于黎曼几何的量子分类实验沙箱
量子计算起源于托马斯·杨于 1802 年进行的所谓双缝实验。在该实验中，一个小实体（例如光子或电子）被导向两个平行狭缝，并观察到由此产生的干涉图案。观察表明，该实体表现得像波，这表明它同时穿过两个狭缝。从计算的角度来看，这种波粒二象性意味着单个信息比特可以编码为量子比特，量子比特是两种不同状态的叠加。量子计算的这一独特特性在计算时间和结果方面比传统计算具有显着优势，例如对于模式识别或使用有限的训练集（Rebentrost 等人 2014 年、Blance 和 Spannowsky 2021 年）。
Geomstats：机器学习中黎曼几何的 Python 包
我们介绍了 Geomstats，这是一个开源 Python 包，用于对非线性流形（例如双曲空间、对称正定矩阵空间、变换李群等）进行计算和统计。我们提供面向对象且经过大量单元测试的实现。流形配备了黎曼度量系列以及相关的指数和对数映射、测地线和并行传输。统计和学习算法提供了对流形进行估计、聚类和降维的方法。所有相关操作都被矢量化以用于批量计算，并为不同的执行后端提供支持——即 NumPy、PyTorch 和 TensorFlow。本文介绍了该软件包，将其与相关库进行了比较，并提供了相关的代码示例。我们表明，Geomstats 提供了可靠的构建块，既可以促进微分几何和统计学的研究，又可以使黎曼几何在机器学习应用中的使用更加民主化。源代码可根据 MIT 许可证在 geomstats.ai 上免费获取。
基于黎曼对称正定流形的循环神经网络建模
摘要 — 使用卡尔曼滤波器 (KF) 进行状态估计经常会遇到未知或经验确定的协方差矩阵，从而导致性能不佳。消除这些不确定性的解决方案正在向基于 KF 与深度学习方法混合的估计技术开放。事实上，从神经网络推断协方差矩阵会导致强制对称正定输出。在本文中，我们探索了一种新的循环神经网络 (RNN) 模型，该模型基于黎曼对称正定 (SPD) 流形的几何特性。为此，我们基于黎曼指数图定义了一个神经元函数，该函数取决于流形切线空间上的未知权重。这样，就推导出了一个黎曼成本函数，从而能够使用传统的高斯-牛顿算法将权重作为欧几里得参数进行学习。它涉及计算闭式雅可比矩阵。通过对模拟协方差数据集进行优化，我们展示了这种新方法对于 RNN 的可能性。
黎曼切线空间中的联合对齐群体学习
摘要——在脑机接口（BCI）领域，学习模型通常针对每个受试者和每个会话分别进行训练，因为不同会话和不同受试者之间的数据并不一致。这里我们提出了一种小组学习的方法，即在联合调整多个主题和/或课程之后，使用它们同时进行学习。我们的方法受到盲源分离文献的启发。作为演示，我们在 22 个受试者的数据集上训练单一学习模型，并应用该组模型对所有受试者进行类似地预测测试数据。与传统的单独训练测试设置相比，我们观察到平均精度显著提高了 6.8 个点。我们的方法是通用的，可以用于任何应用程序。它还可用于训练需要大量数据的学习模型，例如深度神经网络。
使用黎曼迁移学习最小化 BCI 的主体相关校准
摘要 — 校准仍然是脑机接口 (BCI) 用户体验的重要问题。常见的实验设计通常涉及较长的训练期，这会增加认知疲劳，甚至在开始使用 BCI 之前。依靠先进的机器学习技术（例如迁移学习），可以减少或抑制这种依赖于受试者的校准。基于黎曼 BCI，我们提出了一种简单有效的方案，根据从不同受试者记录的数据训练分类器，以减少校准同时保持良好的性能。本文的主要新颖之处在于提出了一种可应用于非常不同范式的独特方法。为了证明这种方法的稳健性，我们对三个 BCI 范式的多个数据集进行了荟萃分析：事件相关电位 (P300)、运动意象和 SSVEP。依靠 MOABB 开源框架来确保实验和统计分析的可重复性，结果清楚地表明，所提出的方法可以应用于任何类型的 BCI 范式，并且在大多数情况下可以显著提高分类器的可靠性。我们指出了一些进一步改进迁移学习方法的关键特征。
利用黎曼几何对脑电信号进行心理状态检测
本研究的目的是实施一种基于黎曼几何 (RG) 的算法，使用任务诱导的脑电图 (EEG) 信号检测高心理负荷 (MWL) 和心理疲劳 (MF)。为了引发高 MWL 和 MF，参与者以字母 n-back 任务的形式执行了一项认知要求高的任务。我们采用基于 RG 的框架分析了不同任务条件和皮质区域下 theta 和 alpha 频带中 EEG 波段功率 (BP) 特征的时间变化特性。当任务运行 EEG 的黎曼距离达到或超过基线 EEG 的阈值时，MWL 和 MF 被认为太高。本研究结果显示，随着实验持续时间的增加，theta 和 alpha 频带中的 BP 增加，表明 MWL 和 MF 升高会阻碍/妨碍参与者的任务表现。在 20 名参与者中，有 8 名检测到高 MWL 和 MF。随着实验持续时间的增加，黎曼距离也显示出向阈值稳步增加，大多数检测发生在实验结束时。为了支持我们的发现，我们还考虑了主观评分（有关疲劳和工作量水平的问卷）和行为测量（性能准确性和响应时间）。
用于可解释且高效的黎曼分类的切空间空间滤波器
摘要 — 目标：基于黎曼几何的方法已被证明是脑机接口 (BCI) 解码的良好模型。然而，这些方法受到维数灾难的影响，无法部署在高密度在线 BCI 系统中。此外，黎曼方法缺乏可解释性，导致人工制品决定分类性能，这在人工制品控制至关重要的领域（例如患者群体中的神经反馈和 BCI）是有问题的。方法：我们严格证明了切线空间上的任何线性函数与相应的派生空间滤波器之间的精确等价性。在此基础上，我们进一步提出了一组无需密集优化步骤的黎曼方法降维解决方案。使用开放式 BCI 分析框架，针对经典的常见空间模式和切线空间分类验证了所提出的流程，该框架总共包含 7 多个数据集和 200 个主题。最后，通过可视化相应的空间模式验证了我们框架的稳健性。主要结果：与经典的切线空间分类相比，所提出的空间滤波方法具有竞争力，有时甚至略好的性能，同时在测试阶段将时间成本降低了 97%。重要的是，无论通道数量多少，所提出的空间滤波方法的性能都只使用四到六个滤波器组件，这也通过可视化的空间模式进行了交叉验证。这些结果揭示了每个记录会话中存在潜在神经元来源的可能性。意义：我们的工作促进了对基于黎曼几何的 BCI 分类的理论理解，并允许更有效的分类以及从基于黎曼方法构建的分类器中去除伪影源。
在 Bures-Wasserstein 流形上取平均值：维度——……
我们研究了用于计算高斯分布重心的关于最优传输度量的一阶优化算法。尽管目标是测地非凸的，但黎曼 GD 经验上收敛速度很快，实际上比欧几里德 GD 和 SDP 求解器等现成方法更快。这与黎曼 GD 最著名的理论结果形成了鲜明对比，后者与维度呈指数相关。在这项工作中，我们在辅助函数上证明了新的测地凸性结果；这为黎曼 GD 迭代提供了强大的控制，最终产生了无维度的收敛速度。我们的技术还可以分析两个相关的平均概念，即熵正则化的重心和几何中位数，为这些问题的黎曼 GD 提供了第一个收敛保证。
在黎曼框架内通过 CNN 特征的协方差池对 GPR 信号进行分类
探地雷达 (GPR) 是一种成像系统，可用于观察现场地下情况，以研究土壤的层组成或埋藏物体的存在。由于地面的电磁特性，此类图像通常具有非常低的信噪比 (SNR)。此外，根据设计，埋藏物体被观察为双曲线，其形状可能与物体类型（例如空腔或管道）相关联。在这种情况下，埋藏物体的分类在民用应用中非常重要，例如恢复埋藏天然气管道的位置 [1] 或军事应用，例如地雷探测 [2]。为了进行这种识别，一些研究考虑使用信号反演技术 [3] 来提高 SNR，以便地球物理学家进行手动解释。当需要处理大量图像时，这种解决方案可能不切实际，因为它需要专门的人力资源。因此，自动识别方法已成为必需，并受到社区的关注。GPR 信号的自动分类分两步进行。首先，感兴趣区域（ROI）对应于
量子支持向量机应用于黎曼几何的脑电信号分类
有关量子计算的文献表明，与传统计算相比，量子计算在计算时间和结果方面可能更具优势，例如在模式识别或使用有限的训练集时 [14, 5]。一个无处不在的量子计算库是 Qiskit [1]。Qiskit 是一个在 Apache 2.0 下分发的 IBM 库，它同时提供量子算法和后端。后端可以是本地机器，也可以是远程机器，可以模拟它，也可以是量子机器。Qiskit 对您想要使用的机器类型的抽象使量子算法设计变得无缝。Qiskit 实现了支持向量类分类器的量子版本，称为量子增强支持向量分类器 (QSVC) [10]。在分类任务复杂的情况下，QSVC 可能比传统 SVM 更具优势。任务复杂性随着数据编码为量子态、可用数据的数量和数据质量的提高而增加。在 [6] 中，我们提出量子分类可能对依赖脑电图 (EEG) 的脑机接口具有巨大的潜力。基于这个想法，我们研究了 EEG 信号量子分类的可行性 [7]，通过使用 QSVC 结合黎曼几何 -