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数学家突破200年悬而未决的高斯之谜
科恩-伦斯特拉猜想的部分解决方案有助于解开有关二次形式的长期谜团
来源:科学美国人德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 在其 1801 年的巨著《算术研究》中描述了一个循环之谜。该谜题涉及二次形式，例如 ax+bxy+cy。将形式设置为等于数字，将其固定为可以在 x-y 图表上绘制的方程 - 这是我们许多人在高中时通过图形计算器学会的。
高斯描述了一种将其中两种形式组合起来产生第三种形式的方法。他称这次行动为“组合”。使用该方法，他将我们称之为 Q 的二次形式与其本身结合起来，找到了一个新形式 Q2。再次与Q组合Q2，他得到了第三种形式，Q3。但当他一遍又一遍地重复这些步骤时，他发现，经过有限次数的迭代后，构图循环了所有可能的形式，并重置为原始形式 Q。
高斯可以看到无论他的起始形式如何，循环都会重置，但他找不到任何控制循环长度的规则。直到最近，其他数学家也无法做到这一点。
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1983 年，受高斯发现启发的一个想法，即科恩-伦斯特拉猜想，声称能够确定周期重置之前的平均长度（而不是精确长度）。这个猜想被普遍接受，但未经证实，已经存在了 40 多年。现在，哈佛大学数学家 Aaron Landesman 和克莱高级研究所研究员 Ishan Levy 发现了一个新框架，这对证明这一点大有帮助。
“这是很多很多人都在研究的事情，”哈佛大学数学家梅兰妮·伍德 (Melanie Wood) 说。它代表了“我们对此类问题理解的真正突破”。