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量子图
量子图项目提议深入探索量子信息论核心的组合方面，它位于组合学和理论计算机科学与量子物理学的交叉点上。更具体地说，我们的项目旨在对量子图概念进行几项理论发展，量子图被视为图的非交换概括。这项跨学科的提案旨在开发新的组合和代数方法来解决量子信息中的基本问题，同时阐明组合结构和量子特性之间的深层关系。在量子信息论的框架内，量子图（也称为非交换图）的概念首次由 Duan 等人在 [DSW13] 中提出，目的是将香农理论中的某个概念推广到量子情况。与经典图可视为非自反对称关系这一事实类似，Weaver [Wea21] 将量子图表述为冯·诺依曼代数上的自反对称量子关系。Musto 等人 [MRV18] 还将有限量子图表述为有限量子集上的邻接运算符。非常令人惊讶的是，这三种不同的观点指向了同一个对象，即量子图，这是本博士项目的重点。
图的 Bures-Wasserstein 平均数
查找采样数据的平均值是机器学习和统计学中的基本任务。然而，在数据样本是图形对象的情况下，定义平均值是一项固有的困难任务。我们提出了一种新颖的框架，通过嵌入平滑图形信号分布空间来定义图形平均值，其中可以使用 Wasserstein 度量来测量图形相似性。通过在这个嵌入空间中找到平均值，我们可以恢复一个保留结构信息的均值图。我们确定了新图平均值的存在性和唯一性，并提供了一种计算它的迭代算法。为了突出我们的框架作为机器学习实际应用的有价值工具的潜力，我们在各种任务上对其进行了评估，包括结构化对齐图的 k 均值聚类、功能性脑网络的分类以及多层图中的半监督节点分类。我们的实验结果表明，我们的方法实现了一致的性能，优于现有的基线方法，并提高了最先进方法的性能。
