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![arXiv:2006.08822v1 [quant-ph] 2020 年 6 月 15 日](/simg/5\596e780a082ed603e08f0a1f95a5e3747015fc64.webp)
arXiv:2006.08822v1 [quant-ph] 2020 年 6 月 15 日
在量子信息处理与计算中，凸结构在量子态、量子测量和量子信道的集合中起着重要作用。一个典型的凸结构问题是量子态鉴别，它从一组给定的量子态 {| Ψ i ⟩} ni =1 中区分出一个量子态，其中先验概率 pi 满足 P nipi = 1，参见[1–4]。最近，[5–8] 考虑了不可用量子态到可用状态集合的最佳近似问题。对于给定状态 ρ，问题改写为从 {| Ψ i ⟩} ni =1 中寻找最难区分的状态，使得 ρ 与凸集 P nipi | Ψ i ⟩⟨ Ψ i | 之间的距离最小[7]，该问题的解决有利于可用量子资源的选择[9–11]。与量子相干性和量子纠缠中距离测度的选择类似，我们在这里采用迹范数作为距离测度[12–18]。一个重要的问题是如何选择基{| Ψ i ⟩} ni =1。在量子信息处理中，人们一般关注逻辑门在制备量子态时的可用性。从资源论的角度看，所谓可用态通常意味着它们可以很容易地制备和操纵。在光学实验中，倾斜放置的偏振器将输入光子态转换为真实量子逻辑门的本征态。如果半波片与水平轴以π/ 8倾斜放置，则构成阿达玛门[19, 20]。因此，无论从实验可用性还是态制备的可行性角度，将真实量子逻辑门的本征态视为可用基都是有意义的。给出的不确定关系
来自哈密顿相态的有效量子伪随机性
量子伪随机性已应用于量子信息的许多领域，从纠缠理论到混沌量子系统中的扰乱现象模型，以及最近的量子密码学基础。Kretschmer (TQC '21) 表明，即使在没有经典单向函数的世界中，伪随机态和伪随机幺正态也存在。然而，时至今日，所有已知的构造都需要经典的密码构造块，而这些构造块本身就等同于单向函数的存在，并且在现实的量子硬件上实现也具有挑战性。在这项工作中，我们寻求同时在这两个方面取得进展——将量子伪随机性与经典密码学完全分离。我们引入了一个称为哈密顿相态 (HPS) 问题的量子硬度假设，该任务是解码随机瞬时量子多项式时间 (IQP) 电路的输出状态。仅使用 Hadamard 门、单量子比特 Z 旋转和 CNOT 电路即可非常高效地生成哈密顿相态。我们证明了问题的难度降低为问题的最坏情况版本，并且我们提供了证据证明我们的假设可能是完全量子的；这意味着，它不能用于构造单向函数。通过证明我们集合的近似 t 设计属性，我们还展示了当只有少量 HPS 副本可用时的信息论难度。最后，我们表明我们的 HPS 假设及其变体使我们能够有效地构造许多伪随机量子原语，从伪随机态到量子伪纠缠，再到伪随机幺正，甚至包括使用量子密钥的公钥加密等原语。在此过程中，我们分析了一种伪随机幺正的自然迭代构造，它类似于 Ji、Liu 和 Song (CRYPTO'18) 的候选者。
来自哈密顿阶段状态的有效量子伪随机
量子假体性在许多量子信息的许多领域中都发现了应用，从纠缠理论到混沌量子系统中的乱拼图现象模型，以及最近在量子cryp-forgraphy的基础上。kretschmer（TQC '21）表明，即使在一个没有经典的单向功能的世界中，伪随机状态和伪单位都存在。到今天为止，所有已知的构造都需要经典的加密构建块，这些构建块本身就是单向函数存在的代名词，并且在逼真的量子硬件上实施也很具有挑战性。在这项工作中，我们寻求同时在这两个方面取得进步，这是通过将量子伪随机与古典密码学脱在一起的。我们引入了一个称为哈密顿相状态（HPS）问题的量子硬度假设，这是解码随机瞬时Quantum quantum多项式时间（IQP）电路的输出态的任务。汉密尔顿相状的状态只能使用Hadamard大门，单量子Z旋转和CNOT电路生成非常有效的生成。我们表明，我们的问题的硬度减少到了最差的概率版本，我们提供了证据表明我们的假设是完全量子的。意思是，它不能用于构建单向功能。我们还显示了信息的硬度，当仅通过证明我们的集合的近似t-deSign属性可用时，就可以使用信息硬度。在此过程中，我们分析了伪元单位的天然迭代构建，类似于JI，Liu和Song的候选人（Crypto'18）。最后，我们证明了我们的HPS假设及其变体使我们能够有效地构建许多假量子原始原始，从伪随机状态到量子伪enentangremprement，到pseudorandom limitories，甚至是原始词，例如与Quan-tum-tum tum tum tum tum tum tum tum tum tum tum keys。
从算法、实现和特性方面对经典随机游走和量子游走的比较研究
近年来，随着硬件和软件技术的进步，高性能计算取得了长足的发展。计算机的性能按照摩尔定律不断提高，但似乎在不久的将来就会达到极限。量子计算机有可能大大超越经典计算机的性能，因此成为研究的焦点。本研究从理论角度和模拟实现两个方面探讨了经典随机游动与量子游动的区别，并探讨了量子游动在未来的适用性。概述了经典随机游动和量子游动的基本理论，并根据经典随机游动和量子游动的行为和概率分布，比较了它们之间的特征差异。同时，我们使用Qiskit作为量子模拟器实现了量子行走。表示量子行走的量子电路主要由硬币算子、移位算子和量子测量三部分组成。硬币算子表示量子行走中的抛硬币，这里我们使用了Hadamard算子。移位算子表示根据硬币算子的结果进行量子行走的移动。量子测量是提取量子比特的量子态的过程。在一维量子行走中，我们准备了四种情况，作为从两个到五个量子比特位置的量子比特数的差异。在所有情况下，都已看到量子行走的成功实现，这与量子比特的数量和初始状态的差异有关。然后，我们广泛研究了二维量子行走的实现。在二维量子行走中，就每个 x 和 y 坐标位置的量子比特数量而言，准备了三种情况，从两个到四个量子比特。虽然与一维情况相比，问题设置的复杂性大大增加，但可以看出量子行走实现的成功。我们还看到，量子行走的行为和概率分布的扩展在很大程度上取决于初始硬币状态和初始位置的初始条件。本研究证明了量子行走作为解决未来广泛应用中复杂问题的工具的适用性。最后，我们给出了本研究的可能观点和未来展望。
CSE 599d - 量子计算 Grover 算法
2 n 次旋转，我们可以近似地翻转 | x 0 ⟩ 和 | φ ′ ⟩ 。如果我们最初从 | ψ ⟩ 开始，那么在这次旋转之后，我们将很有可能获得 | x 0 ⟩ 。我们并没有在这里给概率加点，也没有越过界限，但只要稍加努力就可以做到。值得注意的是，与传统情况相比，搜索所需的查询数量加快了二次方。Grover 算法的电路成本呢？查询成本我们已经计算过了。然后是 W 。我们如何有效地实现 W = 2 | ψ ⟩⟨ ψ |− I ？请注意，这是 W = H ⊗ n (2 | 0 ⟩⟨ 0 |− I ) H ⊗ n，其中 H 是我们的朋友 Hadamard 门。因此，我们需要知道如何有效地实现 (2 | 0 ⟩⟨ 0 | − I 。这个幺正将所有状态映射到自身，其中 | 0 ⟩⟨ 0 | 不获取任何相位，而所有其他计算基础状态都获取 − 1 相位。引入一个反转此相位的全局相位很有用：− 2 | 0 ⟩⟨ 0 | + I 。实现此门的一种方法如下。首先请注意，您可以使用 Tofolli 门、单个受控门和一些初始化为 | 0 ⟩ 的额外辅助工作区量子位构造多个受控操作（它们最终也会是 | 0 ⟩ 。）为此，对于您想要条件化的量子位，计算前两个量子位的 AND 并使用 Tofolli 将其放入辅助工作区量子位，然后计算这个量子位和第三个量子位的 AND 放入第二个工作区量子位使用 Tofolli。继续这样做，你会看到在 n 个量子位中，你可以获得在某些辅助寄存器中计算的所有控制位的 AND。以此量子位为条件，在目标量子位上执行所需的受控门。然后反向运行你已经执行的 Tofolli 电路，从而擦除辅助量子位中的垃圾。现在要实现 − 2 | 0 ⟩⟨ 0 | + I ，请注意，如果你执行 − 1 量子位控制的 Z（Z 是 Pauli 相位运算符），那么这个门就是 − 2 | 1 n ⟩⟨ 1 n | + I 。只需在这个门之前和之后应用 X ⊗ n 即可将其变成所需的门（直到全局相位。）因此，我们看到我们可以使用 O（2 n）个基本门实现 W 。请注意，此操作 W 有时称为“关于均值反转”操作。我让你来决定它为什么有这个名字。
量子计算基础
图 12-1A 屏幕截图 © Microsoft Corporation 图 16-1 Microsoft QDK for Visual Studio Code 的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-2 Visual Studio Code 中新建 Q# 程序的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-3 Visual Studio Code 中保存程序的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-4 QDK 示例的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-5 Q# 随机数生成器的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-6 Q# Open 语句的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-7 QuantumPseudoRandomNumberGenerator 操作的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-8 RandomNumberInRange 操作的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-9 SampleRandomNumber 操作的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-10 Grover 算法代码中的 Open 语句的屏幕截图 © Microsoft 2021图 16-11 ReflectMarked 的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-12 ReflectUniform 的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-13 Grover 算法的附加函数的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-14 Grover 算法的入口点的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-15 NumberofIterations 函数的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-16 Deutsch-Jozsa 开头的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-17 Deutsch-Jozsa 入口点的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-18 IsConstant 函数的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-19 Deutsch-Jozsa 其余函数的屏幕截图 © Microsoft 2021 图 16-20 Entanglement 的屏幕截图 © Microsoft 2021 图17-1 Quantum Inspire 编辑器截图 © 2021 Quantum Inspire 图 17-2 两个量子比特的截图 © 2021 Quantum Inspire 图 17-3 CNOT 门的截图 © 2021 Quantum Inspire 图 17-4 Hadamard 门的截图 © 2021 Quantum Inspire 图 17-5 多个门的截图 © 2021 Quantum Inspire 图 17-6 开始新项目的截图 © 2021 Quantum Inspire 图 17-7 新项目编辑器的截图 © 2021 Quantum Inspire 图 17-8 错误更正的截图 © 2021 Quantum Inspire 图 17-9 Grover 算法的截图 © 2021 Quantum Inspire 图 17-10 Grover 算法结果的截图 © 2021 Quantum Inspire 图 17-11 Deutsch-Jozsa 的截图算法 © 2021 Quantum Inspire 未编号 图 17-1 CNOT 门符号的屏幕截图 © 2021 Quantum Inspire
量子比特的实时量子控制
量子计算依赖于开发能够抵抗汉密尔顿量中微小且不受控制的参数变化的量子设备。人们可以通过实时估计这种不受控制的变化来应用反馈，以稳定量子设备并提高其相干性。这项任务对于许多量子平台（如自旋、超导电路、捕获原子和其他用于抑制或纠正错误的平台）都很重要。半导体自旋量子比特具有长相干时间、紧凑尺寸以及与现有半导体技术大规模集成的潜力，因此具有吸引力。然而，到目前为止，自旋量子比特凭借所选设备的高保真操作而大放异彩。进一步的可扩展性和可重复性可能需要主动补偿环境波动。在本论文中，我们专注于实时闭环反馈协议，以估计量子比特汉密尔顿量参数的不受控制的波动，然后提高量子比特旋转的质量。首先，我们使用低延迟量子控制器相干地控制自旋量子比特。该协议使用在砷化镓双量子点中实现的单重态-三重态自旋量子比特。我们在两个控制轴上建立实时反馈，并提高相干自旋旋转的最终品质因数。即使汉密尔顿量的某些分量完全受噪声控制，我们也展示了噪声驱动的相干控制。作为一种应用，我们在两个波动的控制轴存在的情况下实现了 Hadamard 旋转。接下来，我们提出了一种基于物理的实时汉密尔顿估计协议。我们通过根据福克-普朗克方程更新其概率分布来实时估计双点内波动的核场梯度。我们通过基于先前的测量结果自适应地选择电子单重态对的自由演化时间，进一步改进了基于物理的协议。与以前的方案相比，该协议将估计速度提高了十倍。最后，我们提出了一种自适应频率二进制搜索方案，用于有效跟踪共振驱动量子比特中的低频波动。我们实时地实施贝叶斯算法来估计磁通可调的 transmon 量子比特中的低频磁通噪声，其相干性和保真度得到了改善。此外，我们通过门集层析成像显示，我们的频率跟踪协议最大限度地减少了系统中的漂移量。我们的方法引入了闭环反馈方案，旨在减轻退相干的影响并延长量子系统的寿命。这篇论文推动了该领域的发展，即集成量子比特硬件和控制硬件，并实施计算机科学中的贝叶斯估计和优化方法。
量子量较少的AE的量子电路实现
AES的重要性，它是研究最多的密码之一[3，11，15，17，18]，在量子电路的有效合成的背景下。这些实现可以在某些涉及AE的对称键基原始素的量子攻击中使用[4,9,9,13,16]。在本文中，我们构建了一些Qubits的AE的量子电路，涉及的技术可能会为AES的量子电路提供更多灵感的量子和电路深度交易。可以与cli效率 + t门集合进行任何经典矢量布尔函数的量子甲骨文，该函数由Hadamard Gate（H），相位栅极（S），对照栅极（cnot）和非cli虫t Gate组成。有一些关于合成最佳可逆电路的作品，例如可逆布尔函数。Shende等。[22]考虑使用不使用栅极，cnot门和to奥里门的3位可逆逻辑电路的合成。Golubitsky等。[10]提出了一个最佳的4位可逆电路，该电路由NOT GATE，CNOT GATE，TO to oli Gate和4位TO奥利门组成。综合量子电路实现的目的是减少量子的深度和数量[3,11,17,18]。根据我们当前对耐断层量子计算的理解，t -Depth的度量可能是最重要的。但是，在构建实用量子计算机之前，降低量子数量的成本的方法也非常有意义，并且它可能会提供更多灵感的量子和深度交易。在[8]中，Datta等。 在[15]中，Jaques等。在[8]中，Datta等。在[15]中，Jaques等。最近，AE的效率量子电路的构建引起了很多关注。提出了AE的可逆实现。提出了一种将AES量子电路的深度宽度成本度量最小化的方法。在[11]中，Grassl等。提出了针对最低量子数的AE的量子电路。在[17]中，Kim等。 在AES上展示了一些时间记忆交易。 在[3]中，Almazrooie等。 提出了AES-128的新量子电路。 通过利用S-box的经典代数结构[5]，Langenberg等。 在[18]中展示了一种构建AES S-box的量子电路的新方法，该方法基于Langenberg等人。 提出了AES-128的有效量子电路。 与Almazrooie等人相比。 和Grassl等。 的估计值，Langenberg等人提出的电路。 可以同时减少量子数的数量和to oli大门。 Langenberg等。 的工作表明，我们可以通过构造更效率的AES经典电路来构建AE的改进的量子电路。 有几项关于如何减少经典环境中AE的门数的作品[1、7、14、19、28]。 在[14]中，Itoh和Tsujii提出了用于计算F 2中乘法逆的塔架架构，这是设计S-Box的紧凑硬件实现的强大技术。 通过使用塔场技术，[7]中的CANIGRES显示了一种计算输入的乘法逆的有效方法。在[17]中，Kim等。在AES上展示了一些时间记忆交易。在[3]中，Almazrooie等。提出了AES-128的新量子电路。通过利用S-box的经典代数结构[5]，Langenberg等。在[18]中展示了一种构建AES S-box的量子电路的新方法，该方法基于Langenberg等人。提出了AES-128的有效量子电路。与Almazrooie等人相比。和Grassl等。的估计值，Langenberg等人提出的电路。可以同时减少量子数的数量和to oli大门。Langenberg等。 的工作表明，我们可以通过构造更效率的AES经典电路来构建AE的改进的量子电路。 有几项关于如何减少经典环境中AE的门数的作品[1、7、14、19、28]。 在[14]中，Itoh和Tsujii提出了用于计算F 2中乘法逆的塔架架构，这是设计S-Box的紧凑硬件实现的强大技术。 通过使用塔场技术，[7]中的CANIGRES显示了一种计算输入的乘法逆的有效方法。Langenberg等。的工作表明，我们可以通过构造更效率的AES经典电路来构建AE的改进的量子电路。有几项关于如何减少经典环境中AE的门数的作品[1、7、14、19、28]。在[14]中，Itoh和Tsujii提出了用于计算F 2中乘法逆的塔架架构，这是设计S-Box的紧凑硬件实现的强大技术。通过使用塔场技术，[7]中的CANIGRES显示了一种计算输入的乘法逆的有效方法。在[6]中，Boyar和Peralta通过使用塔式字段实施，为AES中的S-Box提出了一个深度16电路。
分布式量子门的通用协议
实践中，需要大规模量子计算机来以更高的速度解决复杂问题，但在实现上存在一些问题，如量子退相干。其原因是量子比特与环境相互作用，从而对误差更敏感[10-12]。解决上述问题的一个合理方法是使用分布式量子计算机减少处理信息时使用的量子比特数量。分布式量子计算机可以由两个或多个具有较少量子比特的低容量量子计算机构建，类似于用于解决单个问题的量子系统网络中的分布式节点或子系统[13,14]。在这种结构中，需要量子（经典）通信协议来在单独的节点之间进行通信。分布式量子计算最早由 Grover [15]、Cleve 和 Buhrman [16] 以及 Cirac 等人 [17] 提出。随后，Ying和Feng [11]定义了一种描述分布式量子电路的代数语言。之后，Van Meter等[18]提出了分布式量子电路中的VBE进位波加法器结构。与此同时，该领域的一些工作集中在通信部分。2001年，Yepez [19]提出了两种类型的量子计算机。在第I类量子计算机中，量子通信用于互连分布式量子计算机的子系统。在II类量子计算机中，使用经典通信代替量子通信来互连分布式量子计算机的子系统或节点。在量子通信中，在网络节点之间传输量子比特的著名方法之一是量子隐形传态（QT）[20–23]。在隐形传态中，量子比特在两个用户或节点之间传输，而无需物理移动它们。然后，在量子比特上本地执行计算；这种方法也称为远程数据。还有一些工作侧重于优化分布式量子电路的通信成本。假设量子比特隐形传态是一种昂贵的资源，这类工作试图减少这种远程数据 [ 24 – 26 ]。在 [24 ] 中，作者考虑了具有公共控制或目标量子比特的连续 CNOT 门。他们表明，这样的结构只需一次隐形传态即可执行两个门。在 [25 ] 和 [26 ] 中，这个想法得到了扩展，并提出了一些算法来减少所需的隐形传态次数。考虑了所有可能导致通信减少的配置。[27 – 29 ] 还分别考虑了使用启发式方法、动态规划方法和进化算法来优化隐形传态次数。另一种方法称为远程门，当节点相距甚远时，它使用量子纠缠直接远程执行门。远程门方法的挑战之一是在位于分布式量子计算机不同节点的量子比特之间建立 n 量子比特控制量子门的最佳实现。根据所考虑的库（如 NCV、NCT、Clifford + T 等），可以使用不同的控制门来合成量子电路的变换矩阵。众所周知的可逆量子门之一是 Toffoli 门。Toffoli 门与 Hadamard 门一起构成了量子计算的通用集。此外，具有两个以上控制量子比特的多控制 Toffoli 门在量子计算中得到广泛应用。因此，实现在网络的不同节点之间应用 n 量子比特远程 Toffoli 门（受控非门）的协议至关重要。
量子计算机开发的状态
概率效应。................................................................................................................................................ 88 Figure 8.2: (a) Arrangement of physical qubits for the surface code.数据量子位显示为空心圆，测量值作为实心圆圈。分别在十字架末端的绿色和黄色表示Z和X稳定器的测量值。在边界上，稳定器的测量仅包括三个数据量量，由截断的十字表示。（b）Z稳定器测量的电路图。身份以补偿（C）X稳定器测量中的Hadamards。对于所有稳定器，同时执行每个步骤。沿阵列的所有Z和X稳定器的一轮此类电路对应于一个综合征测量框，如图7.1所示。在美国物理社会的[FMMC12]版权所有（2012年）的许可后重印数字。”........................................................................... 91 Figure 8.3: Performance below threshold for the surface code for distances 3,5,7,9,11,15,25,35,45 and 55.对于距离3,5和7，二次，立方和四分位拟合曲线显示为虚线。它们仅近似于低物理错误率p [FDJ13]的实际曲线。经Macmillan Publishers Ltd的许可转载：科学报告（A. G. Fowler，S。J。Devitt和C. Jones，Sci。Rep。，3（1），2013年。 ），版权（2013年）。 “经[M. H. Amin。的许可重印数字 物理。Rep。，3（1），2013年。），版权（2013年）。“经[M. H. Amin。物理。..................... 93 Figure 8.4: Another two threshold plots indicating the threshold at the crossing of the different lines............... 97 Figure 9.1: Sketch of total time until the ground state is found with desired probability as a function of the problem size.虚线显示了每轮运行时间TF的几个固定值的性能。蓝线显示了最佳结果，如果为每个问题大小分别优化了运行时间TF，则达到了最佳结果。用固定的TF测量（例如，由于退火设备的局限性）时，测得的曲线（红色）的斜率可能表示错误的行为：对于小N，斜率低于最佳（可能在没有的地方伪造速度），对于大N，对于大n，斜率高于最佳（可能掩盖了可能存在的加速速度）。修订版A，92（5）：052323，2015。]版权所有（2015年），美国物理社会。”................................................................................ 108 Figure 11.1: Number of qubits in GHZ state that have been realized experimentally.Mario Krenn博士批准了该数字的用法，并取自[KRE22]。........................................................................................ 123 Figure 15.1: Three-dimensional space-time lattice of syndrome measurement outcomes.一个水平层对应于一轮综合征测量，其中符号表示结果。红线显示了发生测量结果的改变。错误链导致进一步分开的符号变化对[FMMC12]。数据QUBIT的一个误差（X或Z）导致空间维度的一对符号变化，而中间的数据QUBIT位于中间，测量值的单个误差会导致一个在时间维度上的误差，并且在两个更改之间发生错误的误差（M）。“在美国物理社会的[FMMC12]版权所有（2012年）的允许下转载数字。”................................................................. 168 Figure 15.2: Implementation of logical qubits: (a) Double Z-cut qubit, (b) double X-cut qubit.逻辑运算符XL（ZL）由沿蓝色（红色）线的物理Qubit上的X（Z）操作组成[FMMC12]。在美国物理社会的[FMMC12]版权所有（2012年）的允许下转载数字。............ 169 Figure 15.3: Schematic protocol for creating and initializing a double X-cut qubit in a logical Z eigenstate.mz表示z的测量值，| g⟩表示基态以基态数据量的初始化[FMMC12]。“经。在美国物理社会的[FMMC12]版权所有（2012年）的允许下转载数字。.............................................................................................................. 170 Figure 15.4: (a) Circuit diagram for a logical CNOT operation between two double Z-cut qubits, mediated by a double X-cut qubit.在此过程中，测量目标量子位，并以|+⟩初始化了新的双z切割量子标式，以取代目标值。在初始化或测量量子线时，对应于同一量子的两个孔的两条线。（b）描述执行三个CNOT步骤的孔的编织的描述：每个双Z（x） - cut量子值以一对黑色（蓝色）线表示，其中沿x轴显示孔的孔的移动。（c）简化编织的表示形式，仅作为栅极的中间工具显示双X-Cut值。实际上，双Z切量盘根本不需要移动，并且可以在测得的旧目标的位置初始化新的目标量子定位。（d） - （f）在两个双X切位数之间间接cnot的等效表示。[FMMC12]在美国物理社会的[FMMC12]版权所有（2012年）的许可下重印了数字。............................................................................................. 171 Figure 15.5: Implementation of S (top) and T (bottom) gate on the input state |分别具有魔术状态| y⟩和| a⟩。在最新版本中，也可以在没有最终的Hadamard门的情况下执行S门，并在经典控制中携带副产品运算符[GF17]。t门还需要一个条件的门来纠正其非确定性。决定是否执行其他S