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41000图理论讲师：Luca Trevisan
41000图理论讲师：Luca Trevisan本课程是关于研究网络的算法和分析技术，尤其是从有趣的生成模型中采样的随机网络。该课程对有向和无向图的基本熟悉，连接性和较强的连接性的概念，以及图形及其属性的BFS和DFS访问。我们将研究线性代数技术在图形上的应用，有关光谱图理论和光谱算法的各种结果，我们将在随机块模型中分析用于社区检测的光谱算法，并在随机图中找到种植的集团。第1周：连通性，剪切和光谱图理论讲座1：拉普拉斯（Laplacian）和连通性讲座的无向图，特征值的拉普拉斯矩阵：图形分配的光谱算法及其分析第3：拉普拉卡（Laplacian eigenvalues and Combinix Properties properix pertrix pertrix pertrix pertrix pertrix pertrix pertrix properrix and pertrix propertrix and pertrix propertrix propertry propertrix propertrix： algorithms for random graphs Lecture 4: spectrum of the adjacency matrix of random graphs, Matrix Chernoff bounds, applications Lecture 5: spectral algorithms for finding planted cliques in random graphs Lecture 6: spectral algorithms for community detection in the stochastic block model Week 3: other matrix norms and semidefinite programming algorithms Lecture 7: semidefinite programming, Grothendieck inequality, and more on community detection Lecture 8: semidefinite programming for community detection in the stochastic block model Lecture 9: semidefinite programming and robustness Week 4: spectra of graphs, random walks, and other random processes Lecture 10: the spectrum of Cayley graphs Lecture 11: expanders, random walks and MCMC algorithms Lecture 12: percolation
有向图的对角化移位和过滤器
有大量数据是（或可以看作）由图的顶点索引的。例子包括生物网络、社交网络或互联网等通信网络 [1, 2]。为了将信号处理 (SP) 工具应用于此类图数据，包括移位、滤波器、傅里叶变换和频率响应在内的基本 SP 概念已被推广到图域 [3, 4]，并构建了图信号处理 (GSP) 的基础。GSP 有两种基本变体。[4] 中的框架建立在代数信号处理 (ASP) [5] 的基础上，从邻接矩阵给出的移位定义中推导出这些概念。相比之下，[3] 将图拉普拉斯算子的特征基定义为图傅里叶基。用 ASP 术语来说，它选择拉普拉斯矩阵作为移位算子。无向图。这两种方法都为无向图提供了令人满意的 GSP 框架。也就是说，由于移位算子是对称的，因此存在一个酉傅里叶基。因此，移位以及所有滤波器（多项式
从扩散MRI
结构性脑图通常仅限于定义节点为灰质区域，其边缘会反映在成对节点之间的轴突投影的密度。在这里，我们将脑面膜内的整个体素集成为高分辨率，主题特定图的节点。我们使用扩散张量和从扩散MRI数据得出的扩散张量和分布分布函数来定义局部体素至素连接的强度。我们在人类Connectome项目的数据上研究图形的Laplacian光谱特性。然后，我们通过codrustes验证方案评估Laplacian eigenmodes的受试者间变异性程度。fi-Nelly，我们证明了通过图信号处理的基本解剖结构来塑造功能性MRI数据的程度。图形拉普拉斯特征模式表现出高度分辨的空间pro文件，反映了与主要白色途径相对应的分布模式。我们表明，这种高分辨率图的特征空间的固有维度仅仅是图尺寸的一部分。通过在低频图lapla-cian eigenmodes上投射任务和静止状态数据，我们表明大脑活动可以通过一小部分低频组合的子集很好地近似。所提出的图形开放了研究大脑的新途径，无论是通过图形或光谱图理论探索其组织特性，还是将它们视为在内部层面上观察到大脑功能的脚手架。
关于对比学习的有限样本可识别性——......
▶ 我们遵循 [Hyvarinen et al., 2019] 中的设置。 ▶ si 是高斯变量和拉普拉斯变量的乘积。 ▶ u 对应不同的时间框架。 ▶ g ( · ) 是具有泄漏 ReLU 的神经网络。 ▶ h ( · ) , ϕ i ( · ) 采用具有 R 个神经元的 3 隐藏层网络建模。 ▶ 度量：si 和 hj ( x ) 之间的互信息。
量子几何、逻辑和概率
摘要 离散集上的量子几何意味着有向图，其权重与定义量子度量的每个箭头相关联。然而，这些“格间距”权重不必与箭头的方向无关。我们利用这种更大的自由度，对以转移概率为箭头权重的离散马尔可夫过程给出量子几何解释，即对图拉普拉斯算子∆ θ 取扩散形式 ∂ + f = ( − ∆ θ + q − p ) f ，根据概率构建的势函数 q、p 以及时间方向的有限差分 ∂ + 。在这一新观点的启发下，我们引入一个“离散薛定谔过程”，即 ∂ + ψ = ı ( − ∆+ V ) ψ，其中拉普拉斯算子与双模连接相关联，使得离散演化是幺正的。我们明确地为 2 状态图解决了这个问题，找到了此类连接的 1 参数族和 f = | ψ | 2 的诱导“广义马尔可夫过程”，其中有一个由 ψ 构建的附加源电流。我们还提到了我们最近在场 F 2 = { 0 , 1 } 上以“数字”形式进行的逻辑量子几何研究，包括德摩根对偶及其可能的推广。
泰米尔纳德邦政府公报
单元I数学物理学维度分析：微分方程（普通和部分） - 方程顺序 - 梯度，发散，卷曲和laplacian的表达式 - 矢量代数和矢量计算 - 高斯分歧定理 - 格林的定理 - Stokes的定理。矩阵：Cayley - 汉密尔顿定理，矩阵倒数 - 特征值和特征向量。多项式：Hermite，Bessel和Legendre功能。特殊功能：beta和伽马功能。概率：基本概率理论 - 随机变量 - 二项式 - 泊松和正态分布。复杂变量：分析函数 - 奇异点 - 库奇的积分定理和公式-Taylor's和Laurent的扩展，杆子，残基的计算以及积分的评估。积分变换：傅立叶系列和傅立叶变换及其属性。
通过定量结构特性（QSPR）分析探索药理学性状的基于频谱的描述
研究以定量结构性质关系（QSPR）分析为中心，重点是各种图能量，研究了诸如Me-氯喹酮，Sertraline，Sertraline，Niclosamide，Tizoxanide，Pha-690509，Irricasan，Emricasan，Emricasan和Sofosbuvir等药物。采用计算建模技术，旨在发现这些药物的化学结构及其独特特性之间的相关性。结果阐明了结构特征和药理学特征之间的定量关系，从而提高了我们的预测能力。这项研究显着，通过对这些药用化合物的结构质质连接提供基本见解，从而有助于药物发现和设计。值得注意的是，某些基于光谱的描述符，例如正惯性能，邻接能量，算术几何能，第一个Zegrab能量和谐波指数，表现出高于0.999的强相关系数。相反，众所周知的描述符，例如扩展的邻接，拉普拉斯和无价的拉普拉斯光谱半径，以及第一个和第二个Zagreb estrada指数的性能较弱。文章强调了图形能量和线性回归模型的应用，以有效预测药理特征，通过阐明分子结构与药理特征之间的关系来有效地增强药物发现过程并帮助有针对性的药物设计。
![arxiv：2305.07431v1 [Math.sp] 2023年5月12日](/simg/1\1ccea93f7e8c86b1b4a540e946d0de66fc7a73f0.webp)
arxiv：2305.07431v1 [Math.sp] 2023年5月12日
解决了概率和数学物理学方面的问题[11]，[12]，Erd˝os降低了磁等含量不平等[10]。它将Faber-Krahn的不平等概括为磁性laplacian。从P´olya和Szeg˝o[19]开始，Faber- Krahn-Type的结果是通过证明重排不平等的。然而，磁场的包含使众所周知，很难实现标准的对称方法。erd˝os遇到了挑战头：他设法证明了磁重排的不平等，这让人想起了著名的p´olya-szeg˝o不平等现象，但引起了人们的注意。具有磁场的这种对称结果是 - alas！ - 在[1] [5]之间很少。还有另一个引人注目的特征是，仅重新排列并不是争论磁性等等不平等。这与古典Faber-Krahn设置形成鲜明对比。完成证明的ERD˝OS引入了一种新的不平等，针对磁盘上的磁性schr odinger operator量身定制的，并且在没有磁场的情况下没有类似物。我们改善了Erd˝os的结果。他表明，如果平面域不是磁盘，那么在该域上，迪里奇特磁性laplacian的主要特征值严格比同一区域的磁盘大。我们采取下一步并建立稳定性：如果在平面域上的主要特征值在平面域上略大于同一区域的磁盘，那么该域与磁盘仅略有不同。在很大程度上由Fusco等人的开创性工作加油。最小的主要特征值的微弱扰动不会引起潜在的几何形状的巨大变化，并且这种动态对轨道强度非常敏感。我们用剩余的术语证明了我们的稳定性估计，该术语可以量化域和磁盘之间的区别。定量的faber-krahn型不平等现象几乎是围绕重新安排的经典理论而产生的。[13]，最近十年引起了整个行业，现在致力于稳定的一系列几何和功能相等。我们的论文通过磁场提供了第一个稳定结果。在这里，完善的重排框架不再足够。
有向图对比学习
图对比学习 (GCL) 已出现，用于从对比视图中学习可泛化的表示。然而，它仍处于起步阶段，存在两个问题：1）通过数据增强改变图结构来生成对比视图可能会误导消息传递方案，因为这种图改变操作会剥夺内在的图结构信息，尤其是有向图中的方向结构；2）由于 GCL 通常使用带有手动挑选参数的预定义对比视图，因此它没有充分利用数据增强提供的对比信息，导致模型学习的结构信息不完整。在本文中，我们设计了一种称为拉普拉斯扰动的有向图数据增强方法，并从理论上分析了它如何在不改变有向图结构的情况下提供对比信息。此外，我们提出了一个有向图对比学习框架，该框架从拉普拉斯扰动生成的所有可能的对比视图中动态学习。然后我们使用多任务课程学习来训练它，以从多个易到难的对比视图中逐步学习。我们通过实证研究证明，我们的模型能够比其他 GCL 模型保留更多有向图的结构特征，因为它能够提供完整的对比信息。在各种基准测试中的实验表明，我们优于最先进的方法。