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Golay 码和量子语境
1949 年，戈莱（Golay）[1-4]发现了两种重要的纠错码。一种是二进制码，现用符号 1[24,12,8] 表示，由 2 12 = 4096 个 24 个字符（每个字符为 0 或 1）的码字组成，码字之间的最小距离为 2/8；另一种是三元码，用符号 [12,6,6] 表示，由 3 6 = 729 个 12 个字符（每个字符为 0、1 或 2）的码字组成，码字之间的最小距离为 6。3 在被发现后的几十年里，这些代码推动了编码理论和数学的重大进步。在编码理论中，戈莱码是唯一在有限域上可以纠正码字中多个错误的完美代码。 4 在数学中，二进制 Golay 码导致了 24 维 Leech 格子的发现 [5]，这种格子提供了该维度上最密集的全同球体堆积 [6]（已知的其他此类堆积的唯一维度是 8）。此外，在群论中，正如 Preskill [4] 所说，Golay 码启动了一系列事件，这些事件导致了上个世纪后期对有限群（特别是“零散”群）的完整分类。量子计算的出现以及由此产生的对量子纠错的兴趣，重新引起了人们对古典密码学的兴趣，因为人们意识到后者的许多结果可以改编并用于
多层超导电路中编码的量子比特的高保真测量
量子比特测量是量子信息处理的核心。在超导量子比特领域，标准读出技术不仅受信噪比的限制，还受测量过程中状态弛豫的限制。在这项工作中，我们证明，通过使用超导电路的多层希尔伯特空间，可以抑制由于弛豫而导致的限制：在多级编码中，只有当出现多个错误时，测量才会被破坏。利用这种技术，我们表明，我们可以直接解决 10 3 分之一级别的 transmon 门错误。扩展了这个想法，我们将相同的原理应用于以玻色子模式编码并用 transmon ancilla 检测的逻辑量子比特的测量，实现了 Hann 等人的提议 [ Phys. Rev. A 98 , 022305 (2018) ]。量子比特状态分配基于一系列重复读出，进一步降低了整体不保真度。这种方法非常通用，并且研究了几种编码；当码字之间的距离相对于光子损失增加时，码字更容易区分。探索了多次读出和状态弛豫之间的权衡，并表明其与光子损失模型一致。我们报告了基于 Fock 的编码的逻辑分配不保真度为 5 . 8 × 10 − 5，量子纠错码（S = 2 ，N = 1 二项式码）的逻辑分配不保真度为 4 . 2 × 10 − 3。我们的结果不仅提高了量子信息应用的保真度，而且还能够更精确地表征过程或门错误。
量子解码问题
基于格的密码学的创始成果之一是将短整数解问题量子简化为 Regev 引入的带错误学习问题。Chen、Liu 和 Zhandry 最近指出，可以通过将带错误学习问题替换为量子等效问题（其中错误以量子叠加形式给出）来使这种简化更加强大。在代码的背景下，这可以适应从查找短代码字简化为随机线性代码的量子解码问题。因此，我们在本文中考虑量子解码问题，其中我们给出了代码字的噪声版本的叠加，我们想要恢复相应的代码字。当我们测量叠加时，我们会得到通常的经典解码问题，其中最佳已知算法处于恒定速率和错误率范围内，与代码长度呈指数关系。但是，我们将在这里展示，当噪声率足够小时，量子解码问题可以在量子多项式时间内解决。此外，我们还表明，对于噪声率，该问题原则上可以量子地（尽管不是有效的）解决，而由于信息论的原因，相关的经典解码问题根本无法解决。然后，我们在代码的背景下重新审视 Regev 的归约。我们表明，在 Regev 的归约中使用我们的算法来解决量子解码问题，可以与已知的最佳短码字问题量子算法相媲美。这在某种意义上表明了 Regev 归约在考虑量子解码问题时的严密性，也为短码字问题的新量子算法铺平了道路。
LIPIcs.ITCS.2023.53.pdf - DROPS
经典复杂性理论中的一个著名成果是 Savitch 定理，该定理指出非确定性多项式空间计算 (NPSPACE) 可以通过确定性多空间计算 (PSPACE) 来模拟。在这项工作中，我们开始研究 NPSPACE 的量子类似物，记为 Streaming-QCMASPACE (SQCMASPACE)，其中指数长的经典证明被流式传输到多空间量子验证器。我们首先证明 Savitch 定理的量子类似物不太可能成立，因为 SQCMASPACE = NEXP 。为了完整起见，我们还引入了具有指数长流式量子证明的伴随类 Streaming-QMASPACE (SQMASPACE)，并证明 SQMASPACE = QMA EXP（NEXP 的量子类似物）。然而，我们的主要重点是研究指数长的流式经典证明，接下来我们将展示以下两个主要结果。第一个结果表明，与经典设置形成鲜明对比的是，当允许指数长度的证明时，量子约束满足问题（即局部哈密顿量）的解空间始终是连通的。为此，我们展示了如何通过一系列局部幺正门模拟单位超球面上的任何 Lipschitz 连续路径，代价是增加电路尺寸。这表明，如果演化速度足够慢，量子纠错码无法检测到一个码字错误地演化为另一个码字，并回答了 [Gharibian, Sikora, ICALP 2015] 关于基态连通性问题的未决问题。我们的第二个主要结果是，任何 SQCMASPACE 计算都可以嵌入到“非纠缠”中，即嵌入到具有非纠缠证明器的量子约束满足问题中。正式地，我们展示了如何将 SQCMASPACE 嵌入到 [Chailloux, Sattath, CCC 2012] 的稀疏可分离汉密尔顿问题（1 / 多承诺差距的 QMA(2) 完全问题）中，代价是随着流式证明大小的扩大而扩大承诺差距。作为推论，我们获得了第一个系统构造，用于在任意多证明者交互式证明系统上获得 QMA (2) 型上限，其中 QMA (2) 承诺差距随着交互式证明中的通信位数呈指数增长。我们的构造使用了一种新技术来利用解缠结来模拟二次布尔函数，这在某种意义上允许历史状态对未来进行编码。
关键应用中使用的修改产品代码的新解码技术
由于对电磁辐射的敏感性增加，存储设备的缩小增加了系统故障的概率。关键存储系统采用容错技术（如纠错码 (ECC)）来缓解这些故障。这项工作探索了采用线积码 (LPC)（一种类似产品的 ECC）的纠错技术和算法。我们建议使用单纠错算法 (AlgSE) 和双纠错算法 (AlgDE) 来解码 LPC 码字。这两种算法都探索了 LPC 特性以获得更高的解码效率。AlgSE 是使用与校正启发式相关的迭代技术实现的，而 AlgDE 是一种创新的提议，它允许通过推断错误来提高校正效果。AlgDE 与 AlgSE 一起使用时可以显著提高 LPC 解码器的效率。在详尽的测试中，它可以纠正最多三个位翻转的 100% 的情况，以及分别 98% 和 92% 的四次和五次翻转的情况。此外，我们还提出了纠错潜力与实施纠错算法的成本之间的权衡。
用于 Gottesmann-Kitaev-Preskill 状态的两个量子比特门
两个量子比特门对于通用量子计算至关重要。对于 Gottesmann-Kitaev 和 Preskill 状态，可以使用光学元件（例如压缩器和分束器）实现像 CZ 和 CNOT 这样的两个量子比特门。然而，它们是为理想化的 GKP 码字设计的，因此在现实环境中会出现有限能量效应。在本文中，我们将提供量化相空间中 GKP 状态中这些有限能量效应的方法。我们将明确计算应用逻辑 CZ 之前和之后计算基础状态的波函数变化。我们观察到 CZ 门在相空间中所有错误都发生在 p 正交中，而 q 正交保持不变。充分了解 CZ 门引起的错误将允许设计精确的纠错方案来纠正错误。我们给出了 GKP CZ 门的新型近似方案，并将其与 GKP CNOT 门的现有方案进行比较。最后，我们将研究纠正有限能量效应的误差修正方案。
量子纠错综述
最近，量子计算重新引起了人们的关注，因为已经报道了几台较大规模的量子计算机，例如 [1]。容错量子计算（FTQC）[2]被认为是实现大规模量子计算机必不可少的。FTQC 对量子纠错码（QECC）中的码字执行计算，而不将其解码为原始信息。量子纠错可以分为两大类，一类是经典信息（比特序列）的传输，另一类是量子信息。FTQC 依赖于后者，因为量子计算机的内存由量子信息组成。本综述也关注后者。我们假设读者熟悉传统纠错理论和初等代数。特别是，假设读者具备张量积的知识。熟悉这些知识后，本文就可以自洽地阅读了。虽然本综述只对量子信息做了最低限度的回顾，但我们仍推荐 [3] 作为一本不错的量子信息入门教材。传统的纠错码通过向原始信息中添加冗余来纠正经典信息中的错误。量子不可克隆定理 [4] 认为这种冗余的添加是不可能的，量子纠错也是如此。然而，Shor 通过明确提供 QECC 的例子推翻了这种天真的信念 [5] ，这引发了人们对 QECC 的广泛研究关注，当时提出了许多 QECC 的构造。
量子纠错综述
最近，量子计算重新引起了人们的关注，因为已经报道了几台较大规模的量子计算机，例如 [1]。容错量子计算（FTQC）[2]被认为是实现大规模量子计算机必不可少的。FTQC 对量子纠错码（QECC）中的码字执行计算，而不将其解码为原始信息。量子纠错可以分为两大类，一类是经典信息（比特序列）的传输，另一类是量子信息的传输。FTQC 依赖于后者，因为量子计算机的内存由量子信息组成。本综述也关注后者。我们假设读者熟悉传统纠错理论和初等代数。特别是，假设读者具备张量积的知识。熟悉这些知识后，本文就可以自洽地阅读了。尽管本综述只对量子信息做了最低限度的回顾，我们仍推荐 [3] 作为一本不错的量子信息入门教材。传统的纠错码是通过在原始信息中添加冗余来纠正经典信息中的错误。量子不可克隆定理 [4] 认为，这种冗余的添加是不可能的，量子纠错也是不可能的。然而，Shor 通过明确提供 QECC 的例子 [5] 推翻了这种天真的信念，这引发了人们对 QECC 的广泛研究关注，当时提出了许多 QECC 的构造方法。其中，QECC 的重要类别是所谓的 Calderbank-Shor-Steane (CSS) 码 [6]，[7] 和稳定
针对内存阵列中相邻多个单元翻转的 ECC
随着当今电子产品的广泛应用，单粒子效应 (SEE) 已成为一个重大问题，不仅对于航空航天和军事等关键应用，而且对于汽车行业和医疗器械也是如此，因为可靠性始终是重中之重。这种担忧在包含电磁 (EM) 和电离辐射的环境中尤为明显，这些辐射与物质的相互作用可能会改变存储元件的状态，从而降低系统可靠性。技术规模的缩小增加了带电粒子撞击或由于传导 EM 干扰导致的电源总线波动影响多个单元的可能性；因此，导致多单元翻转 (MCU)。单纠错 - 双纠错 (SEC-DED) 代码是为存储系统提供可靠性的最常用技术之一。但是，SEC-DED 代码的标准实现不再适合提供信息可靠性，因为它们无法令人满意地处理每个编码字的大量位翻转，即 MCU 发生。在此背景下，本文提出了扩展矩阵区域选择代码 (eMRSC)，这是 MRSC 的改进版本，它将之前发布的原始 16 位代码扩展为 32 个数据位的新 MRSC 版本。此外，还提出了一种新的数据矩阵区域方案，以减少生成的冗余位数。将提出的代码与众所周知的代码进行了比较，在所有实验中都表现出色。综合分析表明，提出的代码不仅可靠，而且实施成本低（即面积、编码/解码延迟和功率开销低）。
用于量子计算的可除代码
可整除码由码字权重共享大于一的共同除数的属性定义。它们用于设计通信和传感信号，本文探讨了如何使用它们来保护经逻辑门转换的量子信息。给定一个 CSS 码 C ，我们推导出横向对角物理算子 UZ 保留 C 并诱导 UL 的必要和充分条件。CSS 码 C 中的 Z 稳定器组由经典 [ n, k 1 ] 二进制码 C 1 的对偶确定，X 稳定器组由 C 1 中包含的经典 [ n, k 2 ] 二进制码 C 2 确定。对角物理算子 UZ 固定 CSS 码 C 的要求导致了对 C 2 陪集权重一致性的限制。这些约束非常适合可分码，并且代表着一个机会来利用关于具有两个或三个权重的经典代码的大量文献。我们使用由二次形式定义的一阶 Reed Muller 码的陪集构造新的 CSS 代码系列。我们提供了一种简单的替代标准方法的陪集权重分布（基于 Dickson 范式），这可能具有独立意义。最后，我们开发了一种绕过 Eastin-Knill 定理的方法，该定理指出，没有 QECC 可以仅通过横向门来实现一组通用逻辑门。基本思想是分层设计稳定器代码，具有 N 1 个内部量子比特和 N 2 个外部量子比特，并在内部量子比特上组装一组通用容错门。