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用于二进制场乘法的 Toffoli 门数优化的空间高效量子电路
摘要：Shor 算法在多项式时间内解决了椭圆曲线离散对数问题 (ECDLP)。为了优化二进制椭圆曲线的 Shor 算法，降低二进制域乘法的成本至关重要，因为它是最昂贵的基本算法。在本文中，我们提出了用于二进制域 (F 2 n) 乘法的 Toffoli 门数优化的空间高效量子电路。为此，我们利用类 Karatsuba 公式并证明其应用可以在没有辅助量子位的情况下提供，并在 CNOT 门和深度方面对其进行了优化。基于类 Karatsuba 公式，我们驱动了一种空间高效的基于 CRT 的乘法，该乘法采用两种非原地乘法算法来降低 CNOT 门成本。我们的量子电路不使用辅助量子位，并且 TOF 门数极低，为 O ( n 2 log ∗ 2 n )，其中 log ∗ 2 是一个增长非常缓慢的迭代对数函数。与最近基于 Karatsuba 的空间高效量子电路相比，我们的电路仅需要 Toffoli 门数的 (12 ∼ 24%)，且加密字段大小 ( n = 233 ∼ 571 ) 具有可比深度。据我们所知，这是第一个在量子电路中使用类似 Karatsuba 的公式和基于 CRT 的乘法的结果。
二进制椭圆曲线的另一个具体量子隐式分析
摘要。本文为二进制椭圆曲线提供了具体的量子密码分析，以实现时间效率的实现透视（即减少电路深度），并补充Banegas等人的先前研究，该研究的重点是空间效率的效率（即电路宽度）。为了实现深度优化，我们提出了改进Karatsuba乘数和基于FLT的反转的现有电路实现，然后在Qiskit Quantum Computer Simulator中构建和分析资源。提出的乘数架构，改善了Van Hoof等人的量子Karatsuba乘数，减少了与O（n log 2（3））界限的深度和较低的CNOT门，同时保持了相似数量的to效应和鸡蛋。此外，我们所证明的基于FLT的反演会减少CNOT数量和整体深度，并具有较高的量子量。最后，我们采用了拟议的乘数和基于FLT的IN-版本来执行二进制点添加的量子隐性分析以及用于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的完整shor的算法。结果，除了减小深度外，与先前的工作相比，我们还能够降低多达90％的to oli门，从而显着改善，并提供对量子密码分析的新见解，以实现高度优化的实施。
量子计算课程大纲
1. 量子力学 1.1. 斯特恩·格拉赫 1.2. 马赫-曾德干涉仪 1.3. 量子力学的假设 1.4. 薛定谔方程 1.5. X、P 交换子和海森堡原理 1.6. EV 炸弹 2. 量子计算 2.1. 单量子比特系统 2.1.1. 什么是量子比特 2.1.2. 叠加 2.1.3. 布雷克特符号和极坐标形式 2.1.3.1. 状态向量形式 2.1.3.2. 概率幅 (玻恩规则) [附证明] 2.1.4. 布洛赫球和二维平面 2.2. 测量 I： 2.2.1. 测量假设 - 测量时状态崩溃 2.2.2. 统计测量 2.2.2.1 QC 作为概率分布 2.2.2.2. 来自采样的概率 2.3. 单量子比特门 2.3.1. 旋转-计算-旋转 2.3.2. 幺正门计算 2.3.3. 泡利旋转的普遍性 2.4. 多量子比特系统 I： 2.4.1. 通过张量积实现多量子比特叠加。 2.4.2. 多量子比特门 2.4.2.1. 本机（CNOT） 2.4.2.2. 单量子比特门组合 2.4.2.3. 泡利 + CNOT 普遍性 2.4.3. 德意志-琼扎实验 2.4.4. 无克隆定理 2.5. 纠缠 2.5.1. 贝尔态 2.5.2. 密度矩阵 2.5.3. 混合态 2.5.4.量子隐形传态 2.6. 测量 II: 2.6.1. 量子算子 2.6.2. 射影测量
用于错误校正的量子计算的2.5D体系结构
摘要 - 电流的近期量子设备在过去几年中显示出巨大的进步，最近以量子至上的演示来达到顶峰。在中期，量子机将需要通过误差校正过渡到更大的可靠性，这可能是通过有希望的技术（例如表面代码），非常适合具有有限的量牌连接性的近期设备。我们发现了量子内存，尤其是在2.5D体系结构中排列的带有transmon Qubits的谐振腔，可以充分地实现具有大量硬件节省和性能/效果增益的表面代码。特别是，我们通过将它们存储在连接到每个Transmon的量子记忆中来虚拟化逻辑量子。令人惊讶的是，在许多记忆中分配每个逻辑量子空心，对容错的影响最小，并导致更有效的操作。我们的设计允许在共享相同物理地址（相同的腔体）之间快速横向应用CNOT操作，该逻辑量子量比标准晶格手术CNOT快6倍。我们开发了一种新颖的嵌入，该嵌入可节省大约10倍的传输中，并从额外的优化紧凑度中节省另外2倍的嵌入。尽管Qubit虚拟化在序列化方面支付了10倍的惩罚，但横向CNOT和区域效率的优势会导致故障耐受性和性能可与便利性2D Transmon-fransmon-fly-lyly架构相当。我们的模拟显示我们的系统可以实现与常规二维网格相当的容错性，同时节省大量硬件。fur-hoverore，我们的体系结构可以以1.22倍的基线速率产生魔术状态，而基线速率给定数量的Transmon Qubt。这是对未来容忍量子计算机的关键基准，因为魔术状态是必不可少的，机器将不断地将它们的大部分资源用于生产它们。该体系结构大大降低了容忍故障量子计算的硬件要求，并将概念验证实验证明的证明证明约为10个逻辑量子，总共只需要11个Transmons和9个附件。索引项 - 量词计算，量子误差校正，量子存储器
模拟格子施温格模型的量子算法
Schwinger 模型（1+1 维量子电动力学）是研究量子规范场论的试验平台。我们给出了可扩展的显式数字量子算法来模拟 NISQ 和容错设置中的格子 Schwinger 模型。具体而言，我们使用最近推导的交换子界限对 Schwinger 模型的低阶 Trotter 公式模拟进行了严格分析，并给出了两种情况下模拟所需资源的上限。在格点中，我们发现在 N/2 个物理点上具有耦合常数 x − 1 / 2 和电场截止 x − 1 / 2 Λ 的 Schwinger 模型可以在量子计算机上使用 e O ( N 3 / 2 T 3 / 2 √ x Λ) 中的多个 T 门或 CNOT 进行模拟，时间为 2 xT，操作数为固定算子误差。这种使用截断 Λ 的缩放效果优于量子比特化或 QDRIFT 等算法的预期效果。此外，我们给出了可扩展的测量方案和算法来估计可观测量，这些可观测量在 NISQ 和容错设置中都是通过假设一个简单的目标可观测量（平均对密度）来计算的。最后，我们将通过模拟估计此可观测量的均方根误差限制为理想和实际 CNOT 通道之间的菱形距离的函数。这项工作提供了对模拟 Schwinger 模型的严格分析，同时还提供了可以测试后续模拟算法的基准。
量子嵌入方法模拟强...
图 S3：使用 FCI-in-PBE/STO-3G 方法（黑线）和使用 q-ADAPT-in-PBE 方法计算的 CH 3 CH 2 CH 2 CN 中三重 CN 键解离的势能表面（上图），其中 q-ADAPT-in-PBE 方法对两个活性空间 AS(4,4)（左栏）和 AS(6,6)（右栏）使用两个不同的阈值。中间图显示了使用不同阈值的 q-ADAPT-in-PBE 方法相对于参考 FCI-in-PBE 方法的误差。最下方的图显示了使用两个不同阈值的 CNOT 门数和 q-ADAPT-in-PBE 迭代次数。
Shor 因式分解算法的噪声量子比特量子计算资源分析
我们需要知道实现 Shor 算法所需的量子计算资源。有了这些知识，量子计算机开发人员就可以设定目标，确定哪些领域值得进一步关注，而加密行业可以估计多久可以开发出能够抵御量子计算攻击的加密系统。实际大规模量子计算所需的量子资源和预期性能已经得到研究 [5-8]。然而，由于这些分析的结果因基本假设的不同而有很大差异，因此有必要分析不同条件下所需的资源。我们按照图 1 所示进行资源分析；其结构类似于典型的资源分析结构，但也有一些不同。与其他研究的相似之处如下。为了实现低门错误率，使用了 QEC 代码。因此，该算法被分解为通用门。为了确定要使用的距离，我们分析了算法中基本门步骤的数量 Q，并且由于使用了 T 门，我们确认了用于魔态蒸馏的额外量子比特的数量。此外，通过获取同时使用的 T 门数量，可以确定要准备多少个 T 门工厂。不同之处在于：我们假设逻辑量子比特之间存在全对全连接。为了减少物理量子比特的数量，我们使用旋转平面代码。由于此代码在执行 CNOT 操作时需要进行晶格手术，因此我们对 CNOT 门使用了额外的辅助量子比特。我们还使用了 Fowler 和 Gidney 的魔法状态蒸馏协议 [ 9 ]。
传输方程的有效和故障安全量子算法
在本文中，我们提出了一种可扩展的算法易于故障的计算机，用于在两个和三个空间维度中求解传输方程，以用于可变网格尺寸和离散速度，其中对象壁与笛卡尔网格，与笛卡尔电网相关，每个变化的veer veel veel的相对差异均与裁缝相关范围。我们提供了量子传输方法（QTM）的所有步骤的详细描述和复杂性分析，并为Qiskit中生成的2D流的数值结果作为概念证明。我们的QTM基于一种新型的流媒体方法，该方法可与先进的量子流方法相比，导致减少CNOT门的数量。作为本文的第二个亮点，我们提出了一种新颖的对象编码方法，该方法降低了编码墙壁所需的CNOT门的复杂性，该墙壁现在变得独立于墙壁的大小。最后，我们提出了粒子离散速度的新型量子编码，该量子能够以反映粒子速度的成本进行线性加速，现在它变得独立于编码的速度量。我们的主要贡献包括详细描述量子算法的故障安全实现，用于转移方程的反射步骤，可以在物理量子计算机上容易实现。这种故障安全实现允许各种初始条件和粒子速度，并导致墙壁，边缘和障碍物的颗粒流动行为在物理上纠正粒子流动行为。
时空高效的低深度量子态制备及其应用
我们提出了一种用于准备任意量子态的新型确定性方法。当我们的协议被编译成 CNOT 和任意单量子比特门时，它会准备一个深度为 O (log( N )) 的 N 维状态，时空分配（一种度量标准，它考虑到某些辅助量子比特通常不需要在整个电路中处于活动状态）为 O ( N ) ，这两者都是最优的。当编译成 { H , S , T , CNOT } 门集时，我们表明它比以前的方法需要更少的量子资源。具体来说，它可以准备一个任意状态，误差不超过 ϵ，最佳深度为 O (log( N ) + log(1 /ϵ ))，时空分配为 O ( N log(log( N ) /ϵ ))，分别优于 O (log( N ) log(log( N ) /ϵ )) 和 O ( N log( N/ϵ ))。我们说明了我们的协议如何通过减少时空分配来快速准备许多不相交状态，而只需要常数因子辅助开销——O ( N ) 个辅助量子位被有效地重用，以准备深度为 O (w + log( N )) 而不是 O (w log( N )) 的 w N 维状态的乘积状态，从而有效地实现每个状态的恒定深度。我们重点介绍了这种能力有用的几个应用，包括量子机器学习、汉密尔顿模拟和求解线性方程组。我们提供我们的协议的量子电路描述、详细的伪代码和使用 Braket 的门级实现示例。
量子傅里叶变换及应用
这个电路使用了多少个门？我们首先对第一个量子比特执行一个 Hadamard 门和 n − 1 次条件旋转，总共 n 个门。然后对第二个量子比特执行一个 Hadamard 门和 n − 2 次条件旋转，总共 n + (n − 1) 个门。继续这样做，我们看到需要 n+(n−1)+···+1 = n(n+1)/2 个门，加上涉及交换的门。最多需要 n/2 次交换，每次交换可使用三个 CNOT 门完成。因此，该电路提供了用于执行量子傅里叶变换的 Θ(n 2 ) 算法。