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量子纠错综述
最近，量子计算重新引起了人们的关注，因为已经报道了几台较大规模的量子计算机，例如 [1]。容错量子计算（FTQC）[2]被认为是实现大规模量子计算机必不可少的。FTQC 对量子纠错码（QECC）中的码字执行计算，而不将其解码为原始信息。量子纠错可以分为两大类，一类是经典信息（比特序列）的传输，另一类是量子信息的传输。FTQC 依赖于后者，因为量子计算机的内存由量子信息组成。本综述也关注后者。我们假设读者熟悉传统纠错理论和初等代数。特别是，假设读者具备张量积的知识。熟悉这些知识后，本文就可以自洽地阅读了。尽管本综述只对量子信息做了最低限度的回顾，我们仍推荐 [3] 作为一本不错的量子信息入门教材。传统的纠错码是通过在原始信息中添加冗余来纠正经典信息中的错误。量子不可克隆定理 [4] 认为，这种冗余的添加是不可能的，量子纠错也是不可能的。然而，Shor 通过明确提供 QECC 的例子 [5] 推翻了这种天真的信念，这引发了人们对 QECC 的广泛研究关注，当时提出了许多 QECC 的构造方法。其中，QECC 的重要类别是所谓的 Calderbank-Shor-Steane (CSS) 码 [6]，[7] 和稳定
第 7 章 量子纠错
在我们对量子算法的研究中，我们发现了令人信服的证据，表明量子计算机将具有非凡的能力。但量子计算机真的能工作吗？我们能建造并操作它们吗？要做到这一点，我们必须迎接保护量子信息免受误差的挑战。正如我们在第 1 章中已经指出的那样，这一挑战有几个方面。量子计算机不可避免地会与周围环境相互作用，导致退相干，从而导致存储在设备中的量子信息衰减。除非我们能成功对抗退相干，否则我们的计算机肯定会失败。即使我们能够通过将计算机与环境完美隔离来防止退相干，误差仍然会带来严重的困难。量子门（与经典门相反）是从可能值的连续体中选择的幺正变换。因此，量子门无法以完美的精度实现；门中微小缺陷的影响会累积起来，最终导致计算严重失败。任何有效的防止量子计算机出错的策略都必须防止量子电路中的小单元错误以及退相干。在本章和下一章中，我们将看到如何巧妙地编码量子信息以防止错误（原则上）。本章将介绍量子纠错码的理论。我们将了解到，经过适当编码的量子信息可以存储在量子存储器中，暴露在嘈杂环境中，无需任何操作即可恢复。
量子纠错综述
最近，量子计算重新引起了人们的关注，因为已经报道了几台较大规模的量子计算机，例如 [1]。容错量子计算（FTQC）[2]被认为是实现大规模量子计算机必不可少的。FTQC 对量子纠错码（QECC）中的码字执行计算，而不将其解码为原始信息。量子纠错可以分为两大类，一类是经典信息（比特序列）的传输，另一类是量子信息。FTQC 依赖于后者，因为量子计算机的内存由量子信息组成。本综述也关注后者。我们假设读者熟悉传统纠错理论和初等代数。特别是，假设读者具备张量积的知识。熟悉这些知识后，本文就可以自洽地阅读了。虽然本综述只对量子信息做了最低限度的回顾，但我们仍推荐 [3] 作为一本不错的量子信息入门教材。传统的纠错码通过向原始信息中添加冗余来纠正经典信息中的错误。量子不可克隆定理 [4] 认为这种冗余的添加是不可能的，量子纠错也是如此。然而，Shor 通过明确提供 QECC 的例子推翻了这种天真的信念 [5] ，这引发了人们对 QECC 的广泛研究关注，当时提出了许多 QECC 的构造。
量子纠错的群论
关系：𝐻𝜎 𝑥 𝐻 † = 𝜎 𝑧 和 𝐻𝜎 𝑦 𝐻 † = 𝜎 𝑥 ，这意味着 𝐻 𝑖 ∈𝒞 𝑛 。也就是说，n 量子比特 QFT 总是可以在 n 重 Clifford 群中找到 [3]。iii. 通过 (2) 的变换，我们可以将 𝒞 1 解释为二维希尔伯特空间中状态向量的一组旋转，这些旋转会置换 ±𝑥、±𝑦、±𝑧 轴。考虑首先固定 𝑥 轴。然后我们仍然可以进行旋转，并有四个其他位置可以放置 𝑦 或 𝑧。因此，𝒞 1 可以被认为是同构于立方体的旋转对称群 [4]。通过群论的范围来处理量子纠错，我们能够做出的观察结果与矢量微积分方法的结果一致，并且我们能够指出与几何组合学的可能关系，如上文第 (iii) 点的情况。事实上，群论在我们刚刚讨论的稳定器形式主义的发展中被证明是不可或缺的，而且它似乎与量子纠错领域目前正在研究的许多其他错误模型和稳定器代码有很大关系。参考文献 [1] Planat, Michel, and Philippe Jorrand. “On Group Theory for Quantum Gates and Quantum
量子纠错简介
在接下来的课程中，我们将开发一些技术来消除量子系统中不需要的变换。我们将这些不需要的变换称为“量子误差”。首先，考虑经典误差与量子误差的区别是很有用的。在经典硬件中，例如硬盘驱动器的盘片，铁磁材料中局部磁偶极矩的方向用于编码二进制位，即 0 或 1。磁偶极矩是由材料原子中的电子产生的，它们调整自旋方向，从而调整其固有磁偶极矩。由于费米-狄拉克统计产生的“交换能量”，这种调整在能量上是有利的。因此，如果外部磁场对单个电子的磁偶极矩施加的扭矩足以改变其相对于整体的方向，则电子将倾向于重新调整其磁偶极矩与整体。在量子硬件中，情况有所不同，实验者试图控制单个电子自旋态的叠加。在存在外部噪声的情况下，单个电子没有整体压力来保持其配置。此外，在经典情况下，材料电偶极矩的方向只能发生离散变化，例如从 0 到 1。在量子情况下，我们知道单个电子的自旋存在于自旋向上和自旋向下状态的叠加中，这由连续体描述。以孤立电子为例，其哈密顿量 H = ω σ z
量子纠错中的随机过程
我们分析了量子纠错中的表面代码。在这些代码中，量子比特用单元格网格进行编码，这些单元格可能会受到错误的影响。这些错误无法直接检测到；相反，我们检查编码的稳定器，它们对应于网格上的边缘。这使我们能够找到围绕错误的循环。我们分析了纠正这些循环上的错误的各种过程的行为。绝对零度过程是最稳定的，我们运行模拟以确定它可以在平均时间为 O(n3) 的时间内纠正平方错误循环。我们证明了绝对零度过程的上限，并证明了改变过程的平均时间复杂度为 Θ(n3)。然后，我们分析概率算法。概率模型模拟显示的行为表明存在一个临界概率，大约为 0.175，在此概率下无法可靠地纠正错误。我们还分析了热浴算法，该算法会给电网引入误差，但只要温度足够小，就会随机纠正大的误差。
第 13 讲：量子纠错
我们可以使用不破坏量子信息的奇偶校验测量来检测错误。但是，我们仍然没有解决量子态是连续的事实。为了开始做到这一点，我们将研究针对不同类型错误的纠错码。三量子比特相位翻转码对任意单量子比特状态具有以下作用：
量子纠错与容错简介
过去 20 年，我们在创建、控制和测量超导“人造原子”（量子比特）和存储在谐振器中的微波光子的量子态方面取得了令人瞩目的实验进展。除了作为研究全新领域强耦合量子电动力学的新型试验台之外，“电路 QED”还定义了一种基于集成电路的全电子量子计算机的基本架构，该集成电路的半导体被超导体取代。人造原子基于约瑟夫森隧道结，它们的尺寸相对较大（约毫米），这意味着它们与单个微波光子的耦合非常强。这种强耦合产生了非常强大的状态操纵和测量能力，包括创建极大（> 100 个光子）“猫”态和轻松测量光子数奇偶性等新量的能力。这些新功能使基于在微波光子的不同 Fock 态叠加中编码量子信息的“连续变量”量子误差校正新方案成为可能。在我们尝试构建大规模量子机时，我们面临的最大挑战是容错能力。如何用大量不完美的部件构建出一台近乎完美的机器？二战后，冯·诺依曼开始在经典计算领域探讨这个问题 [ 1 ] 。1952 年，他在加州理工学院的一系列讲座中（这些讲座于 1956 年发表 [ 2 ] ；在耶鲁大学的西利曼讲座中，他未能出席，但其手稿在他死后出版 [ 3 ] 。除了思考当时粗糙、不可靠的真空管计算机外，他还对大脑中复杂神经元网络的可靠计算能力着迷。克劳德·香农 (Claude Shannon) 也对这个问题非常感兴趣 [ 5 ] ，他的硕士论文首次证明开关和继电器电路可以执行任意布尔逻辑运算 [ 4 ] 。冯·诺依曼证明（并不十分严格），一个可由 L 个可靠门网络计算的布尔函数，也可以由 O（L log L）个不可靠门网络可靠地（即以高概率）计算。Dobrushin 和 Ortyukov [6] 严格证明了这一结果。若要进一步了解该领域，可参考 [7-10] 等相关著作。现代观点将使用不可靠设备的可靠计算问题与香农信息论 [11] 联系起来，该理论描述了如何在噪声信道上进行可靠通信。如图 1 所示，在香农信息论中，只有通信信道被视为不可靠的，输入处的编码和输出处的解码被认为是完美的。通过使用对为香农通信问题设计的代码字进行操作的电路模块并经常检查它们，不可靠的电路也可以执行可靠的计算。诀窍在于找到区分模块输出和输入差异的方法，这些差异是故意的（即由于模块正确计算了输入的预期功能）还是错误的 [ 10 ] 。除了与信息论的这种关键联系之外，与控制论也有重要的联系，如图 2 所示。量子计算机是一个动态系统，尽管噪音和错误会不断发生，我们仍试图控制它。诺伯特·维纳创立的经典控制理论处理容易出错的系统（传统上称为“工厂”，实际上可能代表汽车制造厂或化工厂）。如图 3 所示，传感器连续测量工厂的状态，控制器分析这些信息并使用它来（通过“执行器”）向工厂提供反馈，以使其稳定可靠地运行。鲁棒控制系统能够处理传感器、控制器和执行器单元也可能由不可靠的部件制成的事实。我们会发现这是一个有用的观点，但在思考量子系统的控制时，我们必须处理许多微妙的问题，因为我们知道对量子态的测量会通过测量“反向作用”（状态崩溃）扰乱状态。
经典和...的一次性量子纠错
量子纠错 (QEC) 是一种保护信息免受量子噪声影响的方法，是量子信息处理的核心概念之一 [1-3]。由于量子系统与环境的相互作用无法控制，不可避免地会产生噪声，因此 QEC 在量子通信、密码学和计算方面有着广泛的应用。近年来，QEC 也为基础物理学提供了新的见解，为更好地理解量子多体现象如拓扑序 [4-6]、黑洞信息悖论 [7-9] 以及量子混沌与量子引力之间可能存在的对偶性 [10-16] 提供了视角。关于 QEC 的核心问题之一是，原则上可以保护多少信息免受给定噪声的影响。由于任何量子噪声都是由量子信道形成的，量子通道容量定理可以回答这个问题。根据需要保护的信息类型（量子或经典）和可用资源（如纠缠），已经进行了大量研究 [17-24]。对于有噪声量子信道无限次使用的渐近场景，这些结果在文献 [ 25 ] 中合并为一个统一公式。然而，渐近结果仅适用于编码和解码能够以连贯方式应用于大量量子比特的情况，这导致实验演示和实际应用于基础物理的困难。相比之下，最近的研究在不考虑渐近极限的情况下进行了分析，