机构名称：
¥ 1.0
对于 p ≥ 1，令 ℓ p 表示具有有限 p 阶范数的实值序列 x ∈ RN 的空间 ∥ x ∥ p = ( ∑ i | xi | p ) 1/ p 。对于任何 n ≥ 1 和任何 x 1 , ... , xn ∈ ℓ 2，存在 y 1 , ... , yn ∈ ℓ n 2 ，使得对于所有 i , j ∈{ 1, ... , n } ，∥ xi − xj ∥ 2 = ∥ yi − yj ∥ 2 。这直接源于希尔伯特空间的任何 n 维子空间都与 ℓ n 2 等距。事实上，甚至存在这样的 y 1 , ... , yn ∈ ℓ n 2通过考虑 n − 1 个向量 x 2 − x 1 , ... , xn − x 1 ，我们可以得到 ℓ n − 1 2 中的任意 n 个点都可以等距嵌入到 ℓ n − 1 2 中。通过考虑 n 点集 { 0, e 1 , ... , en − 1 } ⊆ R n − 1 ，其中 ei 是第 i 个标准基向量，不难看出维度 n − 1 是等距嵌入的最佳维度。Johnson-Lindenstrauss 引理 [JL84] 建立了一个惊人的事实，即如果我们允许少量误差 δ > 0 ，那么更好的“降维”是可能的。也就是说，对于任何 n ≥ 1 ，任何点 x 1 , ... , en − 1 } , xn ∈ ℓ 2 , 且任意 0 < δ < 1 , 存在 n 个点 y 1 , ... , yn ∈ ℓ d 2 , d = O ( δ − 2 log n ) , 并且对于所有的 i , j ∈{ 1, ... , n } ,
核范数中降维的界限
主要关键词
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