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3.5 直觉 II：纯态和几何正如 Gao [4] 所观察到的，纯化论证立即表明，要证明量子联盟界限，只需考虑纯态即可。这可以帮助几何直觉，特别是如果人们想象——仅略微丧失一般性——所有状态和投影仪都是真实的。在这种情况下，让 ∣ ψ t ⟩ 表示通过对后续的前 t 个投影测量进行条件化而获得的 R d 中的单位向量。然后，如果 H = H t + 1 表示 A t + 1 投影到的子空间，则第 ( t + 1 ) 次测量的分析实际上仅取决于四个向量，即 Proj H ∣ ψ 0 ⟩ 、Proj H ∣ ψ t ⟩ 、Proj H – ∣ ψ 0 ⟩ 和 Proj H – ∣ ψ t ⟩ 。因此，在不失一般性的情况下，我们可以将所有内容投影到 R 4 中，其中前三个向量跨越 R 3 。然后，我们可以在 R 3 中描绘一个半径为单位的地球仪，其中 H t + 1 是赤道平面，∣ ψ 0 ⟩ 和 ∣ ψ t + 1 ⟩ 位于地球表面，∣ ψ t ⟩= r ∣ ̃ ψ t ⟩+ ∣ ̃ ψ – t ⟩，其中 ∣̃ ψ t ⟩ 位于地球表面，0 ≤ r ≤ 1 且 ∣ ̃ ψ – t ⟩ 指向第四维。对于 j ∈{ 0 ,t,t + 1 } ，我们将 ( λ j ,φ j ) 表示 ∣ ψ j ⟩ （或当 j = t 时为 ∣ ̃ ψ j ⟩ ）的经度/纬度。我们可以假设 λ t = λ t + 1 = 0，因此 ∣ ψ t + 1 ⟩= ( 0 , 0 ) 。 （见图 1 左图。）对于 j ∈{ t,t + 1 } ，我们将 ∣ ψ 0 ⟩ 和 ∣ ψ j ⟩ 之间的角度写为 ∆ j ，将 ∣ ψ 0 ⟩ 和 ∣ ̃ ψ t ⟩ 之间的角度写为 ̃ ∆ t （等价地，r ∣ ̃ ψ t ⟩ ）。我们声称
量子联盟的界限变得简单
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