其中w是一个随机的强迫术语（例如白噪声），θ=（κ，α）是模型参数，与Mat'协方差函数相关。这种方法桥接了物理和统计建模之间的联系。这导致了大量的精炼方程（1），以建模更广泛的随机字段，并开发用于估计模型参数的统计推理程序（Lindgren等人。2022）。这些方法中的大多数都依赖于基于网格的方法，使用有限元或音量方法来离散有限的基础函数集方程。在Clarotto等人中提出了这种方法对时空数据的最新概括。（2024）。另一方面，在确定性的环境中，物理知识的神经网络（Pinns，Raissi等人2019）最近引入了求解部分微分方程nθ[u] = 0，其中nθ是任意的差分运算符。一个人试图找到最佳的神经网络uν（ν是一组权重和偏见），通过在随机采样的搭配点上最小化其PDE残差来代表解决方案。这种无网格的方法已被证明在各种情况下有用，并且可以扩展到反对问题，在这种情况下，人们试图学习差分运算符的参数θ给定解决方案的某些观察结果。