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CES 分布的 Fisher-Rao 几何
陈述了这两点，我们最后可以注意到，获得的 Fisher 信息度量 ⟨· , ·⟩ FIM 횺 随 횺 平滑变化。这使得从统计模型过渡到黎曼几何成为可能：微分几何的一个分支，研究具有光滑局部内积（称为黎曼度量）的光滑流形。这种框架确实适用于参数统计模型，因为它使我们能够研究配备 Fisher 信息度量的参数空间的几何形状。由此产生的黎曼几何通常称为 Fisher-Rao 信息几何。回到我们的中心例子，我们已经介绍了足够多的元素来明确本章的标题“CES 分布的 Fisher-Rao 几何”更准确地说是“由中心圆形复椭圆对称分布的 Fisher 信息度量引起的 Hermitian 正定矩阵（协方差矩阵）的黎曼几何”，这将在下一节中研究。
通过大脑启发的几何透镜重新思考最大流问题和波束形成设计
摘要 — 可以通过双管齐下的方法提高无线网络（如车载网络）的数据速率，即 1）通过并行独立路由提高网络流速率；2）通过波束成形码本自适应提高用户的链路速率。移动中继（如移动路边单元）由于其定位灵活，可用于实现这些目标。首先在网络层面，我们将正则化拉普拉斯矩阵建模为黎曼流形上的点，该矩阵是表示中继相关网络图的对称正定 (SPD) 矩阵。受大脑网络中不同任务的几何分类的启发，黎曼度量（如对数欧几里德度量 (LEM)）用于选择可实现最大 LEM 的中继位置。仿真结果表明，与其他传统度量（如代数连通性）相比，所提出的基于 LEM 的中继定位算法可实现并行路由并实现最大网络流速率。其次，在链路层，我们提出了一种无监督几何机器学习 (G-ML) 方法来学习每个中继相关环境的独特信道特性。鉴于空间相关衰落信道具有 SPD 协方差矩阵，它们可以在黎曼流形上表示。因此，基于 LEM 的黎曼度量用于环境信道的无监督学习，并据此构建匹配的波束成形码本。仿真结果表明，所提出的 G-ML 模型在短暂的训练期后提高了链路速率。
通过脑电图
这项研究的目的是探索技术检测思维徘徊的潜力，尤其是在基于视频的远程学习期间，这是改善学习成果的最终好处。为了克服先前思维徘徊在生态有效性，样本平衡和数据集大小方面的挑战，本研究利用了实用的脑电图（EEG）记录硬件，并设计了一个范式，该范式包括在重点学习条件下观看短期视频讲道和未来的计划条件和未来的计划条件。参与者在每个视频结束时估计其注意状态的统计数据，我们将这种评级量表反馈与视频观看过程中的自我捕获的密钥响应相结合，以获取用于分类培训的二进制标签。使用8通道系统记录 EEG，并采用了由Riemannian几何形状处理的空间协方差特征。 结果表明，使用来自三角洲，theta，theta，alpha和beta频段的riemannian加工的协方差特征，可以检测出在接收特征（AUC）下的平均区域（a），用于0.876 for 0.876 for 306分类。 此外，我们的结果表明，训练数据的持续时间很短，可以训练分类器进行在线解码，因为当使用70％的训练集（约9分钟）时，跨讲座的平均AUC为0.689。EEG，并采用了由Riemannian几何形状处理的空间协方差特征。结果表明，使用来自三角洲，theta，theta，alpha和beta频段的riemannian加工的协方差特征，可以检测出在接收特征（AUC）下的平均区域（a），用于0.876 for 0.876 for 306分类。此外，我们的结果表明，训练数据的持续时间很短，可以训练分类器进行在线解码，因为当使用70％的训练集（约9分钟）时，跨讲座的平均AUC为0.689。该发现突出了实用脑电图硬件在以高精度徘徊的情况下实用的潜力，这在基于视频的距离学习过程中具有潜在的应用来改善学习成果。
Lorentzian分裂定理而没有完整的假设
已经发表了许多论文（[6]，[3]，[4]，[2]），该论文解决了Yau [10]在Riemannian几何形状的Cheeger-Gromoll拆分定理中提出的问题。Eschenburg最近获得了一个非常满意的Lorentzian类似物。在[4]中，他证明了一个全球双曲线，及时的测量时空完整的时空满足“强能量状况”，RIC（x，x）> 0，x Timelike，其中包含（完整的）时间表线，在下面有意义地制作出“拆分”。在埃申堡（Eschenburg）的工作之前，Beem等人。[3]证明了洛伦兹分裂定理，假设截面曲率更严格（类似于Riemannian情况下的非负分段曲率）。他们的结果的一个有趣特征是，不需要定时完成的完整假设。仅要求给定的时间表线完成。及时的大地测量完整性是由于全局双波利度，截面曲率条件和线路的完整性而得出的。这表明Eschenburg定理的假设可能有一些冗余。
通过逆问题的VAE的混合模型进行多种学习
用生成模型代表一系列非常高维数据在实践中已显示出非常有效的计算。但是，这要求数据歧管允许全局参数化。为了代表任意拓扑的多种流形，我们建议学习变分自动编码器的混合模型。在这里，每个编码器对代表一个歧管的一个图表。我们提出了一个模型权重估计的最大似然估计的损失函数，并选择一个为我们提供图表及其倒置的分析表达的体系结构。一旦学习了流形，我们就将其用于解决逆问题，通过最大程度地减少到学习歧管的数据实现项。为了解决最小化的问题，我们提出了在学习歧管上的riemannian梯度下降算法。我们证明了用于低维玩具示例的方法，以及某些图像歧管上的脱张和电阻抗层造影。关键字：多种学习，混合模型，变异自动编码器，Riemannian优化，反问题
基于增强的 BCI-EEG 分类...
摘要 — 目的：脑电信号被记录为多维数据集。我们提出了一个基于增强协方差的新框架，该框架源自自回归模型，以改进运动想象分类。方法：从自回归模型可以推导出 Yule-Walker 方程，该方程显示了对称正定矩阵的出现：增强协方差矩阵。对协方差矩阵进行分类的最新技术基于黎曼几何。因此，一个相当自然的想法是将这种基于黎曼几何的方法应用于这些增强协方差矩阵。创建增强协方差矩阵的方法与 Takens 为动态系统提出的延迟嵌入定理有着自然的联系。这种嵌入方法基于两个参数的知识：延迟和嵌入维度，分别与自回归模型的滞后和阶数有关。除了标准网格搜索之外，这种方法还提供了计算超参数的新方法。结果：增强协方差矩阵的 ACM 性能优于任何最先进的方法。我们将使用 MOABB 框架在多个数据集和多个主题上测试我们的方法，同时使用会话内和跨会话评估。结论：结果的改善是由于增强协方差矩阵不仅包含空间信息，还包含时间信息。因此，它通过嵌入过程包含有关信号非线性分量的信息，从而允许利用动态系统算法。意义：这些结果扩展了基于黎曼距离的分类算法的概念和结果。
切线空间对齐：脑机接口的迁移学习...
受试者之间和会话之间的脑电图 (EEG) 统计差异是脑机接口 (BCI) 领域面临的一个常见问题。这种差异阻碍了预先训练的机器学习模型的使用，并且需要对每个新会话进行校准。本文介绍了一种处理这种差异性的新迁移学习 (TL) 方法。该方法旨在通过在正定矩阵黎曼流形的切线空间中将一个受试者的 EEG 数据与另一个受试者对齐，来减少校准时间甚至提高 BCI 系统的准确性。我们在 18 个 BCI 数据库上测试了该方法，这些数据库总共包含 349 名受试者，属于三个 BCI 范式，即事件相关电位 (ERP)、运动想象 (MI) 和稳态视觉诱发电位 (SSVEP)。我们使用支持向量分类器进行特征分类。结果表明，与传统的训练-测试流程相比，在 ERP 范式中，分类准确度显著提高，而对于 MI 和 SSVEP 范式，性能均未下降。与之前发布的黎曼方法黎曼普鲁克勒斯分析 (RPA) 相比，总体准确度提高了 2.7%。有趣的是，切线空间对齐具有处理具有不同通道数的数据集的迁移学习的内在能力，自然适用于数据集间的迁移学习。
切线空间对齐：脑机接口的迁移学习...
受试者之间和会话之间的脑电图 (EEG) 统计差异是脑机接口 (BCI) 领域面临的一个常见问题。这种差异阻碍了预先训练的机器学习模型的使用，并且需要对每个新会话进行校准。本文介绍了一种处理这种差异性的新迁移学习 (TL) 方法。该方法旨在通过在正定矩阵黎曼流形的切线空间中将一个受试者的 EEG 数据与另一个受试者对齐，从而减少校准时间并提高 BCI 系统的准确性。我们在 18 个 BCI 数据库上测试了该方法，这些数据库总共包含 349 名受试者，涉及三个 BCI 范式，即事件相关电位 (ERP)、运动想象 (MI) 和稳态视觉诱发电位 (SSVEP)。我们使用支持向量分类器进行特征分类。结果表明，与传统的训练-测试流程相比，在 ERP 范式中，分类准确度显著提高，而对于 MI 和 SSVEP 范式，性能均未下降。与之前发布的黎曼方法黎曼普鲁克勒斯分析 (RPA) 相比，总体准确度提高了 2.7%。有趣的是，切线空间对齐具有处理具有不同通道数的数据集的迁移学习的内在能力，自然适用于数据集间的迁移学习。
对未注册表面空间的限制弹性形状分析
本文引入了一个新的框架，用于表面分析，该框架源自形状空间上的弹性Riemannian指标的一般设置。传统上，这些指标是在沉浸式表面的无限尺寸流形上定义的，并满足特定的不变特性，从而可以比较表面模型形状保存变换，例如重新构度。我们方法的特异性是将允许转换的空间限制为变形场的预定义有限尺寸基础。这些以数据驱动方式估算，以模拟特定类型的表面变换。这使我们可以简化对相应形状空间的代表到有限的尺寸潜在空间。然而，与涉及涉及的方法形成鲜明对比。网状自动编码器，潜在空间配备了从弹性指标家族继承的非欧国人Riemannian指标。我们演示了如何有效地实现该模型以在表面网格上执行各种任务，这些任务不假定这些模型已预先注册，甚至没有一致的网格结构。我们专门验证了我们对人体形状和姿势数据的方法以及人的面部和手部扫描，例如形状注册，插值，运动转移或随机姿势产生等问题。
通过基于核的 SPD 流形域自适应进行运动想象分类
摘要：背景：记录脑机接口的校准数据是一个费力的过程，对受试者来说是一种不愉快的体验。域自适应是一种有效的技术，它利用来自源的丰富标记数据来弥补目标数据短缺的问题。然而，大多数先前的方法都需要首先提取脑电信号的特征，这会引发 BCI 分类的另一个挑战，因为样本集较少或目标标签较少。方法：在本文中，我们提出了一种新颖的域自适应框架，称为基于核的黎曼流形域自适应 (KMDA)。KMDA 通过分析脑电图 (EEG) 信号的协方差矩阵来绕过繁琐的特征提取过程。协方差矩阵定义了一个对称正定空间 (SPD)，可以用黎曼度量来描述。在 KMDA 中，协方差矩阵在黎曼流形中对齐，然后通过对数欧几里德度量高斯核映射到高维空间，其中子空间学习通过最小化源和目标之间的条件分布距离同时保留目标判别信息来执行。我们还提出了一种将 EEG 试验转换为 2D 帧（E 帧）的方法，以进一步降低协方差描述符的维数。结果：在三个 EEG 数据集上的实验表明，KMDA 在分类准确度方面优于几种最先进的领域自适应方法，BCI 竞赛 IV 数据集 IIa 的平均 Kappa 为 0.56，BCI 竞赛 IV 数据集 IIIa 的平均准确度为 81.56％。此外，使用 E 帧后整体准确度进一步提高了 5.28％。 KMDA 在解决主体依赖性和缩短基于运动想象的脑机接口校准时间方面显示出潜力。