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在过去的几十年里，物质的拓扑相 (TPM) 这一主题得到了广泛的研究。拓扑相是低温下的有间隙自旋液体，它不能用传统的朗道自发对称性破缺理论和局部序参量来描述；相反，它以一种新秩序——拓扑序来表征。拓扑相的基态具有稳定的简并度和稳健的长程纠缠。二维拓扑相还支持具有任意子交换统计的准粒子激发，这使其成为一个有吸引力的平台，可以容错地存储和处理量子信息。其中两个奇特的特征是基态简并度是底层系统的拓扑不变量，并且准粒子可以自由移动而不消耗能量。一大类拓扑相是通过具有玻色子自由度的精确可解自旋晶格模型实现的。二维中的典型例子是 toric 代码，更一般地，有基于有限群的 Kitaev 量子双模型 [6, 10]，甚至更一般地，有基于融合范畴的 Levin-Wen 弦网络模型 [11]。三维拓扑相的例子包括三维 toric 模型和基于预模范畴的 Walker-Wang 模型 [23]。近年来，在三维中发现了更多奇异的相，称为分形子相 [8, 21, 22]。分形子也具有稳定的基态简并和长程纠缠。然而，分形子的基态简并取决于系统尺寸，因此不是拓扑不变量。此外，激发的迁移率受到限制。
用于环面代码和 X-cube 分形模型的量子电路
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