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在本文中，我们扩展了数学流行病学中的经典 SIRS（易感-感染-恢复-易感）模型，加入了一个接种疫苗的区间 V，以解释不完善的疫苗，其效力会随着时间的推移而减弱。SIRSV 模型将人群分为四个区间，并引入了定期重新接种疫苗以减弱免疫力。假设疫苗的效力会随着接种疫苗后的时间推移而衰减。对人群进行定期重新接种疫苗。我们为连续接种疫苗时间开发了一个偏微分方程 (PDE) 模型，并在离散化接种期时开发了一个耦合的常微分方程 (ODE) 系统。我们分析了 ODE 模型的均衡，并研究了无病平衡 (DFE) 的线性稳定性。此外，我们探索了一个优化框架，其中疫苗接种率、重新接种疫苗时间和非药物干预 (NPI) 是控制变量，以尽量减少感染水平。优化目标是使用不同的基于规范的感染个体测量来定义的。使用路径跟踪方法对模型在不同控制参数下的动态行为进行数值分析。分析重点关注疫苗接种策略和接触限制措施的影响。分岔分析揭示了复杂的行为，包括双稳态、折叠分岔、前向和后向分岔，强调需要结合疫苗接种和接触控制策略来有效管理疾病传播。
考虑效率下降和定期重新接种疫苗的 SIRS 模型
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