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我们研究了量子断层扫描和阴影断层扫描的问题，方法是对未知 d 维状态的各个相同副本进行测量。我们首先重新审视已知的量子断层扫描下限 [ HHJ + 17 ]，精度为 ϵ（迹线距离），此时测量选择与先前观察到的结果无关，即，它们是非自适应的。我们通过适当分布之间的 χ 2 散度简洁地证明了这些结果。与之前的工作不同，我们不要求测量值由秩一运算符给出。当学习者使用具有恒定数量结果的测量值（例如，两个结果测量值）时，这会导致更强的下限。特别是，这严格建立了民间传说“泡利断层扫描”算法在样本复杂度方面的最优性。在非自适应情况下，我们还分别推导出使用任意和恒定结果测量学习秩为 r 的状态的 Ω ( r 2 d / ϵ 2 ) 和 Ω ( r 2 d 2 / ϵ 2 ) 的新界限。除了样本复杂度之外，学习量子态的一个具有实际意义的资源是所需的唯一测量设置的数量（即算法使用的不同测量的数量，每种测量可能具有任意数量的结果）。基于这种考虑，我们采用合适分布的 χ 2 散度测度集中来将我们的下限扩展到学习者从一组固定的 exp ( O ( d )) 个可能测量中执行可能的自适应测量的情况。这尤其意味着自适应性不会给我们带来使用可有效实现的单拷贝测量的任何优势。在目标是预测给定可观测量序列的期望值的情况下，我们也得到了类似的界限，这项任务称为阴影层析成像。最后，在可利用多项式大小电路实现的自适应单拷贝测量的情况下，我们证明了基于计算给定可观测量的样本均值的直接策略是最佳的。
使用单拷贝测量学习量子态的下限
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