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Berry相[1]通过绝热循环过程后获得的相位揭示了量子波函数的几何信息，它的概念为理解许多材料的拓扑性质奠定了基础[2–13]。Berry相理论建立在纯量子态上，例如基态符合零温统计集合极限的描述，在有限温度下，密度矩阵通过将热分布与系统所有状态相关联来描述量子系统的热性质。因此，将Berry相推广到混合量子态领域是一项重要任务。已有多种方法解决这个问题[14–21]，其中Uhlmann相最近引起了广泛关注，因为它已被证明在多种一维、二维和自旋j系统中在有限温度下表现出拓扑相变[22–26]。这些系统的一个关键特征是 Uhlmann 相在临界温度下的不连续跳跃，标志着当系统在参数空间中穿过一个循环时，底层的 Uhlmann 完整性会发生变化。然而，由于数学结构和物理解释的复杂性，文献中对 Uhlmann 相的了解远少于 Berry 相。此外，只有少数模型可以获得 Uhlmann 相的解析结果 [ 22 – 30 ] 。Berry 相是纯几何的，因为它不依赖于感兴趣量子系统时间演化过程中的任何动力学效应 [ 31 ] 。因此，Berry 相理论可以用纯数学的方式构建。概括地说，密度矩阵的 Uhlmann 相是从数学角度几乎平行构建的，并且与 Berry 相具有许多共同的几何性质。我们将首先使用纤维丛语言总结 Berry 相和 Uhlmann 相，以强调它们的几何特性。接下来，我们将给出玻色子和费米子相干态的 Uhlmann 相的解析表达式，并表明当温度趋近于零时，它们的值趋近于相应的 Berry 相。这两种相干态都可用于构造量子场的路径积分 [32 – 37]。虽然单个状态中允许有任意数量的玻色子，但是泡利不相容原理将单个状态的费米子数限制为零或一。因此，在玻色子相干态中使用复数，而在费米子相干态中使用格拉斯曼数。玻色子相干态也用于量子光学中，以描述来自经典源的辐射 [38 – 41]。此外，相干态的Berry相可以在文献[ 42 – 45 ]中找到，我们在附录A中总结了结果。我们对玻色子和费米子相干态的 Uhlmann 相的精确计算结果表明，它们确实携带几何信息，正如完整概念和与 Berry 相的类比所预期的那样。我们将证明，两种情况下的 Uhlmann 相都随温度平稳下降，没有有限温度跃迁，这与先前研究中一些具有有限温度跃迁的例子形成鲜明对比 [ 22 – 30 ] 。当温度降至零度时，玻色子和费米子相干态的 Uhlmann 相接近相应的 Berry 相。我们对相干态的结果以及之前的观察结果 [ 22 , 24 , 26 ] 表明，在零温度极限下，Uhlmann 相还原为相应的 Berry 相。
相干态的乌尔曼相和乌尔曼-贝里对应关系
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